Mais il y a plus, et nous allons prouver que, si

t P l'on exclut la valeur /i = i , les fractions p— ^ sont, gé-

néralementy les réduites successives qui répondent aux

quotients complets égaux à ^ ^j- dans le dé-

Y JT

veloppement de riirationnelle dh — — en fraction

continue.

Pour démontrer la proposition qui vient d'être énoncée, posons

z' et x' sont relativement à z et a: des quotients complets correspondants, et leurs développements fournissent des fractions continues périodiques simples, dans lesquelles les périodes sont inverses l'une de l'autre; en outre,

x' et , sont les racines d'une même équation à coefficients entiers ; si donc on remplace x' par -, j dans la

formule

le second membre se réduira à z, et l'on aura en conséquence

-Q>'-i-Qo Soient- une réduite de z* répondant à un quotient complet ^ et -^ la réduite qui précède - « on aura

*-sçTs''

puis

— (I!« S-P'.R)g+fP.S'-P'„R') ^ MC + M'

SECTION I. CHAPITRE II. 'jl

Gela posé, nous supposerons que la réduite p-^» qui ré-

pond au quotient x' dans la fraction continue x, soit

prise dans la première période, et nous allons chercher

combien on doit introduire de quotients incomplets

dans la réduite - pour que -j^ et ^ soient deux réduite .

consécutives de z. 11 faut d'abord que M et M' aient le

même signe, ainsi que N et N', ce qui revient à dire que