E* — DF = A
Soit x' Tun quelconque des quotients complets qui se reproduisent périodiquement dans le développement de x, on aura
E' et D' étant des nombres entiers essentiellement positifs. On peut faire commencer la période de la fraction continue au quotient incomplet contenu dans x', et nous la désignerons par
enfin nous représenterons par - la valeur de la fraction continue formée avec ces mêmes quotients, en sorte que
SECTION I. CHAPITRE II. 6l
Ton aura
Cela posé, nous nous proposons de trouver la loi des réduites
de la fraction continue égale à x, qui répondent, dans les périodes successives, au quotient complet x'.
Si Ton représente généralement par j^ celle des ré-
duites de x qui précède pr^ 9 on aura d'abord
et il est évident que la formule (5) donnera la valeur de T^ si l'on y remplace x' par g; on aura donc
Le second membre de cette formule est une fraction irréductible ; car, si Ton retranche ses deux termes l'un de l'autre après les avoir multipliés respectivement par Qn| et P«.i, puis par Q'^t et PJ^i, on obtient pour diflFérences les nombres a et 6 qui sont premiers entre eux. Il résulte de là que Ton a
Si Ton porte dans la formule (5) les valeurs de F^.^ et de
Q'„j tirées des équations (6), il viendra
d'où l'on tire
Donnons à n les valeurs i, 2, 3, . . ., « dans la formule (7), et multiplions entre elles les n égalités ainsi obtenues, on aura
(8) P„~Qi.^=:(Po-Qo^)(a-6^'^
Si l'on fait, pour abréger,
puis que l'on désigne par Un et Vn deux nombres rationnels définis par l'équation
(10) U^ — 9n V/Â = [u^ — Pi \/ÂK
la formule (8) donnera, en remplaçant x et x' parleurs valeurs (i) et (2),
(II) P„ ^-L-Q„z=(p, ^q\{u^^^^^'x).
Si l'on effectue les calculs, qu'on égale de part et d'autre
les parties rationnelles et les parties multipliées par ^A,
qu'on remplace enfin le rapport — - — par sa valeur — F,
on aura
I P„ = Po«„-+-(EPo-FQo)i'„,
Le développement de la formule (10) fera connaître les quantités u« et \^n9 après quoi les formules (12) donne-
ront les valeurs de P» et Q,,, et résoudront ainsi le problème que nous nous étions proposé.
28. Considérons les expressions des quantités u^ et ^'j qui nous sont données par les formules (9). Si Ton re-
présente par ^ la réduite qui précède ^ dans le développement du quotient complet x'^ on aura
^ = ^^rj-g!, d'où (5.r'«-(a-6');r'--«'==:o;
remplaçant x' par sa valeur — --, — 7 et égalant ensuite
à zéro la partie rationnelle, ainsi que la partie multipliée par y/Â , il vient
d'où
Ai5r.= (-^-)-(a6'6a').
Au moyen de ces relations les formules (9) deviennent
'.'4) «i = — jj— ' «'iV'A^i/ (--— ) -(«6' — 6a')
et, comme la différence aS' — a6' est égale à dz i , on aura 1^5) «; — Ai';=rLi.
Nous pouvons conclure de tout cela une propriété remarquable, qui consiste en ce que les quantités u, et Wi ont les mêmes valeurs, quel que soit le quotient complet à partir duquel on fait commencer la période, pourvu que le nombre des quotients que Ton fait figurer dans cette période reste le même. En effet, supposons que
C4 COURS d'algèbre supérieure.
Ton fasse commencer la jpériode au quotient complet qui vient après a:', la période des quotients incomplets sera
«Il «î» ...» «A— 1» «;
désignons par ^ la fraction continue formée avec ces
/r quotients, et par ~ celle qui est formée avec les mêmes
quotients, sauf le dernier. Il est évident que Tin verse -r
de la seconde fraction est égal à - — a, et que l'inverse — de la première est égal à -7 — a. On a donc
et par conséquent
ai=6a-|-6', 6', = a — 6a,
d'où Ton tire
aj + 6'j = «4-6';
on a d'ailleurs
Ces dernières formules montrent que les valeurs de Ui et de Ui, données par les équations (i4)} ne changent pas
quand, au lieu d'employer la fraction - qui répond au
quotient complet x', on se sert de la fraction analogue
^ relative au quotient complet qui vient après a:'.
Je dis maintenant que u^ etf^i sont des nombres entiers ou des fractions ayant pour dénominateur 2. La première des formules (14) montre qu'il en est ainsi à l'égard de
u, ; quant à f^o sa valeur estzr; : soit ~ ce que devient
cette fraction lorsqu'on la réduit à sa plus simple expression. Le nombre D' est un multiple de g; ensuite les formules (i3) montrent que 2E' est divisible par g et que 4 A l'est par g^; mais on a vu (n°18) que D' et E'ne peuvent avoir un diviseur commun 0, dont le carré 6^ serait un diviseur de A : il en résulte que notre nombre g est nécessairement égal à i ou à 2. Si ^ est égal à i, (^1 est entier, et u^ Test aussi à cause de la formule (i5). Si g est égal à 2, les nombres u^ et \^i ont l'un et l'autre le dénominateur 2 ; en effet, dans l'hypothèse où nous nous plaçons, D' est pair, et si Ui était entier, E' serait divisible par 2, à cause des formules (9), et A le serait par 4, à cause de la formule (i5). Or il est permis de supposer, comme nous l'avons déjà dit, que les trois nombres
— > — et -7 ne sont pas tous les trois entiers; donc Je
nombre U| ne peut être entier quand ^'^ est fractionnaire.
Ce que nous vehons de dire des nombres W| et ^t a lieu également, quel que soit /i à l'égard des nombres Un et Vn, On voit immédiatement, par la forrhule (10), que Un et t'„ seront entiers si M| et i^^ sont eux-mêmes entiers. Supposons donc que ces derniers nombres aient le dénominateur 2. Si l'on fait successivement /z= 2 et « = 3, dans la formule (10), il viendra, en ayant égard à la formule (i5),
«j — »», V^ = (2ttîzh l) — 2«, P, ^/Â,
«3 — P3V^Â=:{4ttî±3i/,) — (4«;±:i)PiV'Â.
On voit que, si Uj et i^^ sont de la forme K H — > K étant
un entier, 1/2 et f^j seront de la même forme, tandis que 113
cl vi seront entiers. D'ailleurs, si l'on fait n = 3 /:a H- v,
S — jéiff. sup., L 5
66 COURS d'algebub supéhiexjre.
V étant l'un des nombres 0,1, 2, on a
comme 1^3 et (^3 sont entiers, u^^ et ^3,, le sont aussi ; d'ailleurs Uy et ^^y ne peuvent avoir que le dénominateur 2, puisque v est <^ 3 ; donc il en est de même de ï/« et de •/«. On peut même ajouter que les nombres u„ et v'„ sont tous deux entiers ou tous deux fractionnaires. En effet, si Ton multiplie Téquation (10) parcelle que Ton obtient en y changeant y^Aen — ^Â, on aura, à cause de la formule (i5),
(16) ul-\ul={dzi)'^.
Il est évident que, si \^n est entier, û« l'est aussi. Si y^ est fractionnaire, u„ ne peut être entier; car, s'il Tétait, A serait divisible par 4, d'après la formule (16) ; alors M| serait entier d'après la formule (i5), et i^i le serait aussi, comme on Ta vu plus haut. Notre hypothèse est donc inadmissible, car {/„ ne peut être fractionnaire quand 1/, et 1^1 sont entiers.
Nous avons démontré que les valeurs de Ui et de l'i sont indépendantes du quotient à partir duquel on fait
commencer la période de l'irrationnelle x = — •
On peut ajouter que ces quantités sont les mêmes pour
les deux irrationnelles ^ j — -p— 5 racines de la
même équation à coefficients entiers. En effet, d'après les formules (14)7 les valeurs de M| et de v'i ne dépendent que de la somme a-f-S', puisque la différence aê' — Sa' est égale à it i. Or, quand on passe de l'irrationnelle
— =- — à l'irrationnelle conjuguée ih — -~ — > les fractions
-» 7> doivent être remplacées respectivement par -79 ~,^
en sorte que les nombres a et 6' restent les mêmes; donc Ui et 1^1 n'éprouvent aucun changement.
29. Nous allons examiner actuellement ce qui arrive quand on donne à l'entier n des valeurs négatives dans les formules (10), (11), (12). Si l'on change «en — n. la formule (10) devient
(«1 "«'iv-^r
ou, à cause de la formule (i5), on a donc
(17) *I-„=(±I )»!£„, V^rt= — [±^Y^U^
D'après cela, on aura en changeant aussi w en — n dans les formules (12),
( (d=i)»P«„ = Po«;,-(EPo-FQo)i'«, I (±l)«Q„ = Qott,-(DPo-EQo)i'„.
Ces formules (18) définissent les nombres (rh 1)" P„, (±:i)"Q„ dont les expressions se déduisent respectivement de celles de P^ Q;, par le changement du signe dei^„; en les combinant avec les formules (12) on obtient
(±:i)»P-„-4-P„ = 2Po«„, (±:i)'»Q-„ + Q^ = 2Qo«„;
2M„ étant entier, on voit que P„ et Q„ sont comme P;» et Q;, des nombres entiers.
Si Ton divise les formules (18) par f/^ et que Ton fasse
68 COURS d'algèbue supérieuhe.
usage de la formule (i), il viendra
Orréqualion (i6) donne
d'ailleurs les nombres Un et 组 croissent indéfiniment avec
n; donc — a pour limite ^A quand n tend vers l'infini.
On voit alors, par les formules (19), que les valeurs absolues de P.„ et de Q,j croissent aussi indéfiniment avec n, et que pour n = oo on a
P c'est-à-dire que l'expression — -^ converge vers rirralion-
Q— Il nelle conjuguée de x. Si Ton retranche la seconde équation (19) de la première, après l'avoir multipliée par
— -- — ? on trouvera, en faisant usage de la formule (20),
multiplions cette équation par la seconde équation (19), et faisons ensuite n = oo , il viendra
Um(±i)»Q„ [p„ - ?^Q,]
Le second membre de cette formule est égal à
DX 2 ^A et par suite (n® 19) égal à
P puisque la réduite ~ de la fraction continue x répond à
un quotient complet de dénominateur D'. D'après cela, si Ton désigne par e^ une quantité qui s'annule pour 12 = 00 , on aura
D' Le rapport — rr est plus petit que i ; donc, pour des vaa \/A
leurs de n suffisamment grandes, le second membre de
la formule (22) aura la forme
6 étant compris entre o et 1. Le nombre 6 sera même
inférieur à -si Ton a D'< JX, et alors la fraction -r^
sera certainement (n^ 8) l'une des réduites de la fraction continue dans laquelle se développe Tirrationnelle conjuguée de X.
