Soit
^8 COURS d'algèbre supéuieure.
une racine irrationnelle et positive de réquation
dans laquelle les coefficients sont des nombres entiers
positifs ou négatifs.
P On a vu au n** 19 que, si -p est une réduite répondant
à un quotient complet de dénominateur H , dans le développement de X en fraction continue, on u
i[(DP„-EQ,)2-AQJ] = ±H,
ou, en remplaçant A par E^ — DF,
DPi-2EP„Q,-f.FQÎ=±nî
le signe -f- ou — ayant lieu dans le second membre, sui-
P vant que j^ est une réduite de rang pair ou de rang
impair. L'égalité précédente montre que l'une des deux équations indéterminées
(2) Dj<«— 2Ejz-f-Fz*=4-H,
(3) D/»— iY.yz + Fz»= — H sera satisfaite par les valeurs
Supposons que —^ soit la réduite qui répond à un quo-
tient complet de dénominateur H pris dans la (« + i)»««« période; si le nombre des quotients contenus dans une période est pair, les réduites
Po Pi P, Qo' Qi' Q2'
seront toutes de rang impair ou toutes de rang pair ; elles
fourniront donc une suite infinie de solutions entières
pour Tune des deux équations indéterminées (2) et (3).
Mais, si la période de la fraction continue x renferme ui
P nombre impair de quotients, les réduites -^ seront alter-
nalivement de rang pair et de rang impair; en conséquence elles donneront une infinité de solutions entières pour chacune des équations (2) et (3). Il peut arriver qu*ily ait dans la même période plusieurs quotients complets de dénominateur H, et Ton doit alors appliquer à chacun d'eux ce qui vient d'être dit.
Les solutions entières dont il vient d'être question, et qui répondent à un même quotient complet pris dans les diverses périodes de x, peuvent être représentées par les formules
I Z = Qol^;. + (DPo-EQo)i^„
Un et Vn désignant ici les mêmes quantités qu'au n^ 27 ; ces deux formules sont comprises dans la suivante :
(^-£ii5.) = (p.-Î^Q.)(..-,^Â)-,
où le radical y[K peut être pris avec un signe quelconque en donnant à ce radical le signe -+- et le signe — successivement, et, en multipliant ensuite les deux équations résultantes, il vient
Dr» - 2E>z -h Fz» = (DPJ - 2EP0Q0 4- FQJ) («; — Ap;)«.
Comme u\ — A*^J = iizi, le second membre de cette égalité ne change pas par le changement de n en — n\ par conséquent, quand on donnera à n toutes les valeurs entières de — 00 à -f- 00 , les formules (4) fourniront des solutions entières en nombre infini, pour chacune des
8o couns d'algèbre supéribubb.
équations (2) et (3), si la période de x renferme un nombre impair de quotients, et pour une seule de ces équations seulement, si le nombre des quotients contenus dans la période est pair.
Les résultats qui précèdent ont été tirés de la considération de Tune des racines x de Téquation (i); la deuxième racine ne donnerait rien de plus, car, en attribuant à n des valeurs négatives dans les formules (4)? nous avons fait intervenir, d'après ce qu'on a vu précédemment, les réduites qui naissent du développement de la racine conjuguée de x.
35. Lorsque le nombre entier H est inférieur à y/Â, l'analyse précédente fait connaître toutes les solutions entières des équations (2) et (3). On a effectivement ce théorème :
Théorème. — Les nombres D, E, F, H étant des entiers et H étant <; y[Kj si les entiers positif s P ei Q, supposés premiers entre eux, satisfont à l'équation
Dj«— aEjz -+- Fz« = ±: H,
la fraction - sera nécessairement une réduite de l'une
des fractions continues qui représentent les racines de l'équation
Dar»— 2Ex-hF = o,
sauf une légère exception dont il sera parlé.
On a, par hypothèse,
(i) DP«— 2EPQH-FQ«=:zhH,
et Tune quelconque des racines de Téquation
Dj:''— 2Ea:-hF = 0
SECTION I. CHAPITHE II. 8i
peut être représentée par la formule
/ ^ E-MVÂ
OÙ i désigne le nombre dt i et où A est mis au lieu de
. P £2 — DF. Enfin, si Ton réduit - en fraction continue et
que l'on représente par —7 la réduite qui précède - » on
aura
pcy-
-Qp'=y.
/ éUnt égal, i
k volonté, soit à -1- i ,
soit à -
Cela étant,
posons
Px' -+- P' -Q.r'+Q"
d'où x'
on aura
Q Q(P-Q^) q[;dp-eq)-/QvaJ
et, en rendant rationnel le dénominateur du second membre, il viendra
"^ Q ■" Q (DP«— 2EPQ -4- FQ* ) '
cette formule peut être simplifiée par le moyen de Téqua* tion (i); celle-ci donne en effet
dp-eq=:XQy/a±— ,
le nombre k étant égal à -t- 1 ou à — i , suivant le signe de DP — EQ. Il vient alors
s. — ^Ig. sup., l. 0
les signes de i et de j étant arbitraires, je prendrai i = A", et je choisirai ensuite jf de manière que/Â: ait le signe de ih H ; on aura ainsi
formule où les radicaux sont pris positivement.
Nous pouvons supposer D positif; alors, si le second membre de la formule (i) est +H, le second membre
delà formule (5) sera supérieur à -tt- î îl sera donc, d'après rhypothèse, supérieur à a; d'ailleurs, la fraction -p- est moindre que i ; donc la valeur de x* sera supérieure
à I, et en conséquence x' sera, d'après la formule (4),
p un quotient complet, répondant à une réduite égale à -»
dans le développement de l'irrationnelle x en fraction continue.
Si le second membre de la formule (i) est — H, la conclusion précédente n'est plus légitime en général ; mais on voit cependant qu'elle subsiste si Q a une valeur trèsgrande, car le second membre de la formule (5) différera
alors très-peu de -—— > quantité qui, par hypothèse, est
supérieure à 2. 11 est facile d'assigner une limite de Q au delà de laquelle le théorème n'est jamais en défaut; à cet effet, écrivons comme il suit la valeur de x* :
comme yfk est supérieur à H, et que Q' •+- 1 est au plus
SFCTION 1. — CHAPITRE II. 83
égal à Q, on aura certainement a:' > i, si la quantité « ï . I\ I>H I ,7
est positive, c'est-à-dire si Ton a
sj-
en élevant au carré cette inégalité et effectuant les réductions il vient
Lorsque Q surpasse cette limite, la fraction - est l'une
des réduites relatives à Tune des racines x ; mais, si Ton a
on ne peut plus rien affirmer en général.
Il faut remarquer que ce cas d'exception ne peut se présenter que si F est positif; car, dans le cas contraire, l'équation (i) peut se mettre sous la forme
— FQ» H- 2EPQ — DP* = -1- H,
et alors, ^ étant une réduite de la fraction continue qui
I P exprime l'une des irrationnelles - > — sera l'une des réduites de X.
