D'après ce qui précède, si les équations indéterminées

^« — Az* = — H,

84 couns d'algèbre supérieuee.

dans lesquelles A désigne un entier positif non carrét et où H est un entier inférieur à y/A, admettent des solutions entières, ces solutions seront toutes fournies par le développement de y/A en fraction continue. Par conséquent, si le nombre H ne figure pas parmi les dénominateurs des quotients complets qui forment la première période, aucune des deux équations précédentes n'admettra de solutions.

Le dernier quotient de chaque période ayant Tunité pour dénominateur Téquation

X* — Az*= -hi

admet toujours des solutions entières; il en est de même de Téquation

quand le nombre des quotients de la période est impair. Mais, lorsque le même nombre est pair, Téquation pré« cédente n'admet aucune solution entière.

Considérons par exemple l'équation

en développant y/29 en fraction continue, on trouve les quotients incomplets

; 5 -h 1/20 3-4-V2Q ^l-hs/lC) 3-+-V/29 ^ , /

La période se compose de cinq quotients, et l'équation

proposée admettra des solutions si H est égal à l'un des

no nombres i, 4> 5. En particulier, comme -^ est la réduite

qui répond au dernier quotient de la première période, on voit que les solutions des deux équations

/* — 293' = — I, ji — 293* = -h I

seront données respectivement par les formules

r-z^/^=(70-i3v^i^r-^\ jr — z v/29= (70— i3 V'âtg)"*;

sî l'on fait n = i dans la dernière formule, on obtiendra les plus petits nombres qui satisfont à l'équation

savoir

j^gSoi, z=i820«

86 couns d'algèbre supérieure.