Un polynôme tel que

Ao^*" -h Al z'«-' -f- . . . -h K^^^ z -^ A^,

dans lequel chaque terme est le produit d'une constante réelle ou imaginaire par une puissance entière d'une variable réelle ou imaginaire z, est dit une fonction entière de 2. Le polynôme étant supposé ordonné par rapport aux puissances de z, le degré m du premier terme est le degré de la fonction. Une équation est dite algébrique lorsqu'elle peut être mise sous la forme y(z) = o, y(z) désignant une fonction entière de z»

Théobeme I. — «Si une fonction entière f{z) de z s'annule pour z = o^ on peut assigner une quantité po^ sitive r, teUe que, pour toutes les valeurs de z dont le

9^ COUTAS D^LGÈBRE SUPÉRIEURE.

module est compris entre zéro et r, le module def[z) soit constamment inférieur à une quantité donnée R.

En effet soit la fonction

/(z) = Ao z'" + Al z"^^ -h ... -4- A;n-i «

qui s'annule pour ^ = o, et dans laquelle quelques-uns des coefficients A peuvent être nuls. Désignons par p le module de la variable z et par a le module de celui des coefficients Ao, A^, . . ., A;„i qui a le plus grand module. Gomme le module d'une somme ne peut surpasser la somme des modules des parties, on aura

mod/(zXa(p'«-}-p'»~*-f-. . .-+-p) ou <i^--^ — '

et, si la valeur de p est inférieure à i , on aura à plus forte raison

mod/(z)<-^^.

Donc, pour que le module àQf[z) soit inférieur à R, il suffit que Ton ait

^<R ou P<^— g;

et, en conséquence, si l'on pose

le module Aq/^z) sera inférieur à R pour toutes les valeurs de z dont le module est compris entre zéro et r.

Corollaire I. — Si

/{z) = A^^^z^-^ A^^^, z^'^-..,-h Al z'"-* -4- Ao s« est une fonction entière de z ordonnée par rapport aux

SECTION I. CHAPITRE III. q3

puissances croissantes' de z, et que l'on pose

/{z) = A,n^.,Z^{l-hi).

on pourra assigner une quantité positii/e r telle, que pour toutes les valeurs de z dont le module est compris entre zéro etr, le module de e soit constamment inférieur à une quantité positii/e quelconque donnée R.

En effet, la fonction que nous désignons par e a pour valeur

et il suffit de lui appliquer le précédent théorème pour établir la proposition énoncée.

Dans le cas où la fonction y (z) et la variable z sont réelles, on voit que, pour toutes les valeurs de z dont le module est inférieur à une certaine limite, la fonction a constamment le signe de son premier terme.

Corollaire IL — *Si

est une/onction entière de z ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de z, et que l'on pose

/(3)zr:AoZ'«(m-ï),

on pourra assigner une quantité positive r telle, que pour toutes les ^valeurs de z dont le module est supérieur à r le module de t soit constamment inférieur à une quan^ tité positive quelconque donnée R.

En effet, la fonction désignée par e a ici pour valeur Ao « Ao z^ Ao 2'"-* Ao 3'"'

et son module sera inférieur à la quantité donnée R pour

toutes les valeurs de - dont le module est inférieur à une

certaine quantité - qu'on peut déterminer, c'est-à-dire

pour toutes les valeurs de z dont le module est supérieur à r.

Dans le cas où la fonctiony(z) et la variable z sont réelles, on voit que, pour toutes les valeurs de z dont le module est supérieur à une certaine limite, la fonction a constamment le signe de son premier terme.

Corollaire III. — Le module d' une fonction entière f{z) déifient infini en même temps que le module de z.

Ce corollaire résulte immédiatement du précédent. En effet, la fonction /'(^) étant ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de z, soit A© z^ son premier terme, et posons

An 3"

on sait que le module de e peut devenir aussi petit que Ton voudra, si le module de z est suffisamment grand. SoientM, p, a, m les modules de/(2), z, Ao, e; l'équation précédente nous montre que — - est compris entre |

I — r, et I -f-yj, d'où il suit que, quand p tend vers Tin-

ilni, on a |

jim = I. '

41. Théorème II. — Une fonction entière f {^z) de z \ est continue.

En général une variable/(z) qui dépend d'une autre !

variahle z est dite continue, si le module de la différence

peut devenir plus petit qu'une quantité quelconque donnée, quand on attribue au module de h une valeur suffisamment petite.

Cela posé, f{z) désignant une fonction entière, ordonnons le polynômey* (-2 -+- h) — /(^) suivant les puissances croissantes de h; ce polynôme s'annulera pour h = o, et si Ton désigne par A^^^à^ le premier de ses termes, on aura, par le corollaire I du n° 40,

£ étant une quantité dont le module peut devenir aussi petit que l'on voudra. Si donc on attribue à h des valeurs dont les modules décroissent indéfiniment, le module de

la différence

/{z + h)-/iz)

prendra des valeurs qui décroîtront aussi indéfiniment, et en conséquencey (z) est une fonction continue.

ConoLLAïKE I. — La variable z et la fonction en-" tièref^z) étant supposées réelles, si l'on attribue h z deux valeurs z^^z^^et que les valeurs correspondantes /(zo)) y(^i) de f[z) soient de signes contraires, la fonction f(z) s'annulera nécessairement pour une ou pLisieurs valeurs de z comprises entre Zo et z^.

En effet, s'il en était autrement, les valeurs que prend f{z) quand z varie de zq à Z| seraient comprises, les négatives entre deux limites — = A et — B, les positives entre deux autres limites -+- A' et -f- B'; par conséquent, avariant d'une manière continue, il faudrait q^ef{z) passât brusquement d'une valeur comprise dans le premier intervalle à une valeur comprise dans le second, ce

qui est incompatible avec la propriété que possède y*(z) d'être continue.

Corollaire IL — Quelles que soient la variable

z=: p (cos» -H /sinw)

et la fonction entière

si le module ou l'argument de z reste constant, ou si ces deux quantités varient simultanément d'une manière continue, suivant une loi déterminée, aucune des deux quantités P etQ^ne pourra changer de signe sans s'annuler,

La démonstration est exactement la même que celle du précédent corollaire. Supposons, en effet, que Targument &) varie de &)o à ci)|, et que p soit constant ou quil dépende de co, d'après une loi quelconque, de façon à varier d'une manière continue quand w varie lui-même d'une manière continue. Si P ou Q a des valeurs de signes contraires pour w = Wq et o) = w< et que cette fonction ne s'annule pas, ses valeurs négatives seront comprises dans un certain intervalle, et la même chose aura lieu à l'égard de ses valeurs positives. La fonction passerait donc brusquement d'une valeur comprise dans le premier de ces intervalles à une valeur comprise dans le second, ce qui est inadmissible.

Dév>eloppement de la fonction entière f[z -H A) sui\^ant les puissances de h.