PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES
Des expressions imaginaires.
37. Conformément à Fusage adopté, nous représenterons par i Timaginaire \j — i , et nous appellerons expression imaginaire toute expression de la forme
où A et B sont des quantités réelles, positives, nulles ou négatives.
Quand nous saurons d'avance que deux quantités réelles A' et B' sont respectivement égales à deux autres AetB, nous dirons que les expressions A-f-Bi et A'h-B'î sont égales.
Il est évident que, si Ton a plusieurs égalités de la forme
A-hB/=:A'-+-B'/,
et qu'on les multiplie membre à membre en opérant comme si i était une quantité réelle, on obtiendra une égalité dans laquelle les coefficients des mêmes puissances de i seront égaux; Fégalité subsistera donc quand on . rabaissera les exposants de i au-dessous de 2 en faisant usage de Téquation i^= — i.
Considérons l'expression imaginaire A4-B1; on peut
SECTIOir I. CHAPITKE III. 87
toujours trouver une quantité positwe p et un arc a tels que Ton ait
A = p cosa, B = p sina.
En eflety il suffît de prendre
pnzH-V'A'H-BS
puis
cosa= j sina =
+ V^A«4-B* -hV/A«-+-B*
par conséquent, on peut écrire
A 4- B/ = p co8« -4- ip sina ou, si Ton veut
A -h B/=i p (cosa -h i s'ma].
Quand une expression imaginaire est ainsi ramenée à la forme p (cosa +- 1 sina), la quantité positive p est dite son module; Tare a est son argument.
Le module d'une expression imaginaire donnée est déterminé, mais l'argument ne Test pas entièrement; car une expression imaginaire ne change pas quand on ajoute à son argument ou qu'on en retranche un nombre quelconque de circonférences.
Les quantités positives et négatives peuvent être considérées comme des expressions imaginaires dont le module est égal à leur valeur absolue et dont l'argument est un nombre pair ou impair de demi-circonférences ; car soit A un nombre positif, on a, quel que soit l'entier *,
-4- A = A (cosaX-ir -h isinaA-ir],
— A = A[cos(2 A- H- i) ir -H isïn (a/- -4- i) ir].
Pour que deux expressions imaginaires soient égales, il faut et il suffît que leurs modules soient égaux, et que
88 COURS d'âlgebrb supébiecre.
leurs arguments diffèrent d'un multiple de la circonférence. Supposons, en effet, que les expressions
p ( cos« -h / sina ) et o' ( cosa' -+- i sina' )
soient égales ; on a
pcosû = p' cosfl', psîn<3 = p' sina',
et, si Ton ajoute ces équations, après les avoir élevées au carré il viendra
les modules étant égaux, les arcs a et a' ont même sinus et même cosinus ; donc ils ne peuvent différer, s'ils sont inégaux, que par un multiple de la circonférence.
Les arguments de deux expressions imaginaires conjuguées, telles que A-f-Bi et A — Bi, ont même cosinus, tandis que leurs sinus sont égaux et de signes contraires ; la somme de ces arguments est donc égale à un multiple de la circonférence.
38. Théorème. — Le produit de deux expressions imaginaires est une expression imaginaire dont le module et l'argument sont respectivement le produit des modules et la somme des arguments des facteurs.
Considérons d'abord deux expressions imaginaires
cosa -h I sina et cos b -^ i sin b
ayant l'unité pour module. Si l'on effectue leur produit, il viendra
(cosa -4- isina) (cosô -f- 1 sinô)
= cosacos^ -h i [sïnacosb + cosasin&) + /*sinasin6,
ou, à cause de i* =. — i (cosa -h /sina] (cosb -h /sin/»)
= (cosacos6 — sinasîa^j •<- t(sinacosb + cosa sine j;
SECTION I. CHAPITBE III. 89
or nous savons que l'on a
cosacos^ — sina sin6 = co8(tf -h t), sinacos^ -H cosasia^ = sin (a -f- £»);
en peut donc écrire
[zosa-h iaina) (cos& + /siD6) =co8(a-l- b) 4-/sin(a-f- b).
Soient maintenant p(cos a -h isînfl),p'(cosi + isiui) deux expressions imaginaires ayant respectivement pour modules o et p' ; on a
p (cosa 4- / sina) X p' ( cosô H- / sin b ) = pp' X (cosa -f-isina) [cosb-h isinb),
el, par conséquent,
p(cosa -H /sina) Xp' (cos6 -t- ismb)
= pp' [co8(a-h b) -+- /sin(a -f- b)].
G)ROLLÂiRE I. — Le quotient de deux expressions imaginaires est une expression imaginaire dont le module et l'argument sont respectivement le quotient des modules et la dijférence des arguments du dii^idende et du dii^iseur.
Car soient les deux expressions
p (cosa -f- /sina) et p' (cosô -f- /sin&);
on a
^ [cos(a — b) -4-/8in(a — ô)]
Xp' (cosô 4- isinô) = p(co8a-f- isina);
d'où
0 (cosa +/ sina) p. , ,. . . , ,\^
~,\ ^ — .-TT =4 fcos ^» — ^) -h I sm [a — b)\
p'(cos6-h/sm6) p '• ^ ' ^ ^"'
CoaoLLAiRE II. — Le module et l'argument du pro*
90 COURS d'algèbhe supérieure.
duit de tant d'expressions imaginaires que l'on voudra sont égaux respecti^fement au produit des modules et à la somme des arguments des facteurs.
En effet, pour multiplier les deux premiers facteurs, on multiplie leurs modules et Ton ajoute leurs arguments. Pour multiplier ce produit par le troisième facteur, il faut multiplier son module par celui du troisième facteur et ajouter à son argument celui de ce troisième facteuTi et ainsi de suite.
Corollaire III. — Pour élesfer une expj^ession imaginaire à une puissance entière et positive de degré m, il faut éles^er le module à la puissance m, et multiplier l'argument par m.
Cela résulte immédiatement du corollaire II, en supposant égales entre elles toutes les expressions imaginaires que Ton y considère.
Soit, en particulier, cosa + sina une expression imaginaire de module i; on a
(cosfl 4- isinû)'" = cos/wa -f- isin ma.
C'est dans cette égalité que consiste la formule de Moivre.
39. Le module de la somme de deux expressions imaginaires est compris entre la somme et la différence des modules des parties.
En effet, soient les deux expressions imaginaires
p (cosaH- /sina), p' (cosa' -+- isina'),
et posons
R (cosA 4- 1 sinA) = p (cosa -*- / ama) H- p' (cosa' -f- / sina' ];
SECTION I. CHAPITRE III. Ql
R cos A = p cosa -4- p cosa',
R sin A = p sin a -4- p' sin a' ;
si Ton ajoute ces égalités après les avoir élevées au carré et que Ton extraie la racine carrée des deux membres de l'égalité résultante y il viendra
R = V^p» -f ^pp' cos(û — a' ) -t- p'^ OQ a donc
R<V/(7T7P ou <p + p', R^^{7^=7? ou ^±(p-p') Il résulte de là que :
Le module de la somme d'un nombre quelconque d'expressions imaginaires ne peut surpasser la somme des modules de ces expressions.
Des fonctions entières.
