Soient

U = AoZ« -f- Ai3«-* -h . . . + A;„i2 + A«, V = Boz» -f- Biz»-* 4. . .. + B^x 2 + B„

io8 cocus d'algèbkf supérieure.

deux fonctions entières de z, l'une du degré /ti, l'autre du degré n, et dont les coefficients sont des quantilés quelconques données. Chacune de ces fonctions peut être décomposée en facteurs linéaires, et parmi les facteurs de U il peut s'en trouver quelques-uns qui appartiennent aussi à V. Nous désignerons par D le produit de tous les facteurs linéaires égaux *ou inégaux communs à U et à V, et ce produit D sera dit le plus grand commun dwiseur des polynômes U et V. Dans celle recherche, les coefficients Ao et Bo des plus hautes puissances de Zy dans U et dans V,- ne jouent évidemment aucun rôle, et on peut les réduire à l'unité en divisant les coefficients de U par A© et ceux de V par Bo-

Supposons, pour fixer les idées, que m ne soit pas inférieur à w. Si le polynôme V divise U exactement, il sera évidemment le plus grand commun diviseur demandé ; mais supposons qu'il n'en soit pas ainsi ; désignons par Q le quotient et par R le reste de la division. On aura

U = VQ^-R;

si les coefficients A© et B© n'ont pas été réduits à l'unité, l'opératjion que nous venons d'exécuter a pu introduire des coefficients de forme fractionnaire, ce qui n'a aucun inconvénient au point de vue théorique; mais on pourra les éviter si l'on veut, dans les applications, en multipliant U par un facteur constant convenablement choisi, avant de commencer la division. Cela posé, tout poKnômc qui divise V exactement divise aussi le produit VQ. et, s'il divise en même temps l'un des polynômes U et R, il divisera aussi le second. Il résulte de là que les polynômes U et V admettent les mêmes diviseurs communs que les polynômes V et R ; donc, en particulier, celui des diviseurs communs à U et V qui a le degré le plus

SECTION I. CHAPITRE III. lOJ)

élevé coïncide avec celui des diviseurs communs à V et R qui a le plus fort degré; en d'autres termes, le polynôme D que nous cherchons est le plus grand commun diviseur des polynômes V .et R.

Nous diviserons donc V par R, et, si la division se fait exactement, R sera le plus grand commun diviseur demandé. S'il n'en est pas ainsi, désignons par R| le reste de la division de V par R; le raisonnement que nous avons fait plus haut nous prouve que le polynôme demandé D sera le plus grand commun diviseur des polynômes R et R|- On peut continuer de la même manière jusqu'à ce que l'on arrive à un reste R^ qui soit indépendant de ^, et cela ne peut manquer d'arriver puisque les degrés des restes successifs R, Rj, ... ,R^i> R,^ forment une suite décroissante. Si ce reste constant Rji est zéro, le polynôme demandé D sera égal à R^ii mais si le reste constant R^ n'est pas nul, les polynômes proposés U et V n'auront pas de diviseur commun, et l'on dit alors qu'ils sont premiers entre eux, ou que leur plus grand commun diviseur est l'unité.

De là résulte celte importante pï'oposition :

Théorème I. — Si deux équations U = o, V = o ont |x racines communes égales ou inégales^ on pourra former par de simples div^isions algébriques une équation D = o cfe degré fx qui admettra ces p. racines.

48. On peut tirer de ce qui précède une autre proposition qu'il convient de remarquer, savoir :

Théorème II. — Si M et Y sont deux fonctions en-tières de 2, sans diuiseur commun, on pourra trousser deux autres fonctions entières de z, X et Y, telles que l'on ait

UX — VY = i.

iio COURS d'algèbre supérieure.

En effet, si Ton exécute l'opération nécessaire pour trouver le plus grand commun diviseur de U et de V, on arrivera à un reste R^ indépendant de z et différent de zéro. On aura alors une suite d'égalités, telles que

U = VQ -+- R, V = RQ,+R„ j,j ; R = RiQ, -hR„

R|*— t = Rji-i Qji -t- R|*.

La dernière de ces égalités peut s'écrire

tirons de Tavant-dernière des égalités (i) la valeur de Rp i pour la substituer dans l'égalité (2), il viendra

(3) Q,.R^,- (i 4- Q,.-iQ^) R,.-î= - R,;

considérons pareillement l'égalité qui précède les deux dernières dans le système (i), tirons-en la valeur de R,^i pour la substituer dans l'égalité (3), et continuons la même série d'opérations : il est évident qu'on formera de cette manière une suite d'égalités dans lesquelles le second membre sera alternativement -|- R^, et — R^ et dont le premier membre sera la différence de deux fonctions consécutives prises dans la suite

R|i^tf Rjir-4» • • • » R, V, U

multipliées l'une et l'autre par une fonction entière composée avec les quotients Q, Q<, Qj, .... La dernière de ces égalités sera de la forme

MU - IS V = d= R^,

et; en désignant par X et Y les quotients de M et N par m aura

UX — VT = i.

la constante + R^, on aura

Des fonctions entières dans lesquelles plusieurs facteurs linéaires sont égaux*

49. Théorème I. — Le plus grand commun dis^iseur entre une fonction entière f[z) et sa déris^ée f [z) est égal au produit des facteurs linéaires multiples qui fi-, garent dansf[z), élevés chacun à une puissance moindre quune unité,

La fonction y* (-z) étant décomposée en facteurs linéaires, soit

f[z) = (z — ûj) (3 — Û2) . . . (« — a„J,

on sait que la dérivée y (-z) est le coefficient de la première puissance de h dans le développement de la fonction

f[z-\-h) = [z — a^-\-h)[z — a^-^h).,.[z — an^h)',

le quotient ' . " sera donc le coefficient de la première puissance de A, dans le développement de

f^z) \ z — aj \ z^a^l \ z — a„J

et Ton aura par suite

ru) I I I

f[z) z^ai z — a^ « — «m

Si, parmi les racines a^ , a^j - - - , amt il y en a nit égales

112 couns d'algebue supérieure.

à ao /Wj égales à a^, . . . , m„ égales à «„, il viendra

les nombres /«i, ma, . . . , m« dont la somme est m étanl égaux ou supérieurs à l'unité. Le second membre de cette égalité se réduit à une fraction dont le dénominateur est

ff(z) =r:(z — ai)(z — aj)...(z — «„),

et dont le numérateur

■it{z) =/71,(z — «2)--. (2 — ^/1) -|-/7/2(- — «1). ..(- — ««) -^■..

-^m„{z — ai)...{z — a„^.^]

n'est pas divisible par Tun des facteurs de y (z), puisque toutes les parties de ^{z) contiennent cç facteur à l'exception d'une seule. L'égalité précédente donne

et, d'après ce que nous venons de dire, elle montre que

•^^1 ^ ( 3 fljm.-l (« — «j )"».--l . . . ( 3 - «^)^«,-l

est le plus grand commun diviseur des deux polynômes f{^) ety'(z). Le degré de ce plus grand commun diviseur est jn^ -h Wa -h • . . -H m„ — n ou m — n.

50. Théorème IL — Si une fonction entière f{z) a des facteurs linéaires multiples^ on peut obtenir, par de simples div^isions algébriques, le produit des facteurs linéaires qui figurent dans f[z) as^ec un même exposant.

D'après ce qui précède, si f[z) et sa dérîvéey {2) n'ont pas de diviseur commun, le polynôme y*(2) n'aura

SECTION 1. — CHAPITRE lit. Il3

que des facteurs linéaires simples. Mais, s\f[z) elf'[z) ont un plus grand commun diviseuryi (z), le polynôme f[z) aura au moins des facteurs doubles, et, dans tous les cas,y, (::) sera le produit des facteurs linéaires de f{z) élevés chacun à une puissance moindre d'une unité. On peut raisonner sur yi (z) comme nous venons de le faire à l'égard àef[z)\ supposons généralement qu'on trouve un plus grand commun diviseur^i [z) 'àj*i {z) et à sa dérivée, qu'on en trouve aussi unj\[z)kj2{z)el d sa dérivée, etc., que l'on en trouve un enfin y),, {z) k /ii^2 (-) et à sa dérivée, et que ce dernier plus grand commun diviseur soit premier avec sa dérivée. On conclura de là que le polynôme /( .s ) a des facteurs linéaires multiples de l'ordre 72, mais qu'il n'en a aucun d'un ordre supérieur a n. En outre, si l'on désigne généralement par Z^ le produit des facteurs linéaires dcj'^z) d'ordre p, pris chacun une fois seulement, il est évident que Ton aura

- rrn—S v" -^ "7

-=zr'zr!-zîz„

=--z;z;;rl...zîzîz.

Si l'on fait

% f^t /,,(3)rr:Q„

on aura, en divisant chacune des égalités que nous venons d'obtenir par celle qui la précède et en conservant

Il4 COUttS d'algèbre StPÉUlELllE.

la première d'entre elles,

Q/i-2 - z„z,i.jZ„j,

Qj — Z,jZ«i . . .Zj,

Qi ^=^ 5^« ^«—1 • • • Zj Zj .

Enfin, en divisant encore chacune de ces équations par celle qui la précède, il vient

7 /^ 7 Q/î-1 7 Q2 „ Qi

d'où suit que les polynômes Zi , Z2, . . . , Z,, s'obtiendront par de simples divisions.

D'après l'hypothèse que nous avons faite, il y a certainement des facteurs linéaires de l'ordre /i dansy(r:); mais ceux des ordres inférieurs peuvent faire défaut, et, dans ce cas, les valeurs de Z„|, ou de Z„2) ou etc., doivent se réduire à des constantes.

CoiiOLLÀiRE. — La rcsolulion d'une équation qui a (tes racines égales se ramène à celle d'une ou de plusieurs Ci/uations qui n'ont que des racines simples.

Propriété des déri\^ées des fonctions entières^

51. Considérons d'abord une fonction entièrey(z), dans laquelle les coefficients soient des quantités réelles, et supposons que la variable z reste réelle. Si l'on donne à cette variable une valeur particulière Zq pour laquelle la dérivéey(z) ne soit pas nulle, et que l'on pose

SECTION ï. — CHAPITHE lll. IID

on pourra (n^ 40) assigner une quantité positive r telle, que pour toutes les valeurs de h comprises entre — r et 4- r le premier membre de la formule précédente ait le signe de y^ ( ^o ) • H s'ensuit que, si f'{zo) est une quantité positive, la fonction f[z) croîtra constamment quand on fera croîtrez depuis z^ — r jusqu'à z^-^-r. Au contraire, siy'(zo) est négative, y(z) décroîtra quand z croîtra de Zq — /à Zq -H r. De là résulte la proposition suivante :

Théorème I. — La fonction entière f(z) supposée réelle croît auec la variable réelle z, tant que la dérivée f[z) reste positive, et elle décroît quand on fait croître z, tant que la dérivée f(z) est négati\^e.

Il faut remarquer que, z croissant de — oo à -f-oo , la dérivéy'(z) peut s'annuler une ou plusieurs fois, mais cette circonstance ne peut être l'occasion d'une difficulté. Supposons, par exemple, que/*' (^) s'annule pour^==^o> et prenons une quantité g assez petite pour que Zq soit la seule racine àe f'[z)^=o comprise entre -s© — g et -oH-g^; désignons en même temps par h une quantité positive inférieure à g^ et aussi petite d'ailleurs que l'on voudra. Le théorème précédent s'appliquera sans difficulté, quel que soit A, aux valeurs de :: comprises entre z^ — g et Zq — A ou entre 5^0 -f- A et ZQ-i-g\ or ces deux intervalles se succèdent à la limite quand on fait A = o. Â l'énoncé qui précède, on peut, si l'on veut, substituer le suivant :

La fonction entière f(z) supposée réelle croît avec la variable réelle z, tant que la dérivée f{z) n'est pas négative, et elle décroît quand on fait croître z, tant que la dérivée f^ [z) n'est pas positive.