Nous allons établir actuellement un théorème ana
1X6 COUl\S p'aLGÈBRE SlîTéRIRtiRE.
logue au précédent et qui se rapporte au cas général où les coefficients de la fonctiony(;:) sont des quantités quelconques réelles ou imaginaires, et où la variable reçoit aussi des valeurs quelconques.
Posons
z r= p (cosu -h /sinw],
et soit
ou
/{z) =: Aqp'" (cosmw -f- isinnuù) -{-... -i- A„,.
La dérivée y (;:) a pour valeur
f{z) == mAoz"*~*"h [m — i) A,z"'-'-.- . . . .
d'où Ton conclut
zf(z)=mAoz"'-h > — i)AiS'"-»-;-...;
d'un autre côté, f{z) est fonction entière de la variable réelle p, et si, en se plaçant à ce point de vue, ou nomme J\{z) la dérivée def{z), on aura
pJ'^ [z]=z m Aop'" ( cos mw -+- / sin m w ) -h . . . .
La comparaison des deux foriiiulcs précédentes donuo
^/(3)-p/i(3), d'où /l^)-^/,.(3;.
D'après cela, la formule
du n" 42 deviendra
e désignant toujours une quantité qui s'annule on mcme temps que //.
Cela posé, supposons que l'accroissement A donné à s ne change pus le module de cette variable et qu'il ait bcu-
lenient pour effet d'accroître l'argument o) de la quantité $, on aura
«H-// =r p[cos(w -{-$) -hisinfw -4- 0)]
rr-p (ces» -h /sinw) (cos ^ -h /sin J),
d'où l'on tire facilement
== sin^ ( / — tang - o ) ; la formule (i) devient alors
ou
(2) /(z-h-4)-/(z)=psinJ[i/,(s)-f-.,].
en posant
>!=:i— tahg-^./j(2)-4- ( I — tang-(î J.-e.
Le module de - est 2 sin - S', donc, la valeur de z étant
donnée, on pourra prendre à assez petit en valeur absolue pour que le module de h soit moindre qu'une quantité donnée quelconque. Dès lors la même chose aura lieu à l'égard de e, et aussi à l'égard des modules des deux parties qui composent la valeur de y] ; donc enfin, si la valeur absolue de d est suffisamment petite, le module de y) sera inférieur à une quantité quelconque donnée r. Posons
f[z)=V -+-/Q, ■ /(z-^A)=.(P4-AP)-h/(Q-hAQ),
l'équation (2) deviendra
AP -t- / AQ ■:^ p sïnâ { — Q' H- iP' ) ~\' p sin^ [a -h /6),
Il8 COURS d'aLGEBIIE SUPf.niEURE.
et elle se décomposera dans les deux suivantes :
AP — (— Q' i-alpsin^, AQ - (-+-P' H-êjpsin^.
Puisque le module de a -4- oi csl inférieur à r tant que la valeur absolue de J reste au-dessous d'une certaine limite a et 6 seront compris entre — r et -f-r. D'ailleurs r est aussi petit que Ton veut; donc si V et Q' ne se réduisent pas à zéro, les quantités 'AP et AQ seront respectivement de même signe que — Q' sin J et 4- P' sin d. De là résulte le théorème suivant :
Théorème IL — Soit f[z) une fonction entière de la variable imaginaire z = p [ cos w -f- 1 sin w) ; posons y(r)==P-f- iQ, P e^ Q étant des fonctions réelles et entières de p qui dépendent aussi de V argument co, et désignons par V , Q' les dérivées des polynômes PetQ prises par rapport au module p. Si l'on attribue à ce module p une ^*aleur déterminée et que l'on fasse croître l'argument co rfe o « air, la fonction Q croîtra tant que P' sera positive et elle décroîtra tant que P sera négative. Au contraire, la fonction P décroîtra tant que Q' sera positive et elle croîtra tant que Q' sera négative.
Tliéorème de Cauchj. f)3. La variable imaginaire *
(î) z=.r-\-ijr
peut être figurée géométriquement (n'* U) par un point mobile M ayant pour abscisse x, et pour ordonnée j-, relativement à deux axes rectangulaires fixes 0.r et Oj. Si p et w désignent les coordonnées polaires du même point, on aura
X z--. p cos w, J^ = p sin a>,
SECTION I, CIIAPITTXR TTI. I TQ
et, par suite
( 7. ) ^ -— P ( c^** « -+- ' sin M ),
en sorte que p est le module et « l'argument de la variable imaginaire z.
En outre, sij'[z) désigne une fonction entière de z d'un degré quelconque m dans laquelle les coefficients soient des quantités réelles ou imaginaires données, on aura, en remplaçant z par la valeur (i),
p et Q étant des fonctions réelles et entières des coordonnées X ely; d'où il résulte, comme nous l'avons déjà dit, que la recherche des racines de l'équation
équivaut à celle des points pour lesquels on a simultanément
et auxquels nous appliquons, pour abréger, 1^ dénomination de racines.
Enfin, si le polynôme /*( ^ ) est divisible par la /i**"* puissance de z — Zo, sans l'être par une puissance supérieure du même binôme, nous sommes convenu (n*^ 45) de dire que réquationy'(^) = o a n racines égales à Zq; on a, dans ce cas,
/(»o) = o, f{zo)=o /"-«(zol-^o,
mais la dérivée du /i**"* ordre, y" (z), ne s'annule pas pour z = Zo»
54. Ces notions rappelées, nous nous proposons d'établir ici une proposition importante due à Cauchy et qui constitue l'un des plus beaux théorèmes de l'Algèbre.
I20 COURS d'algèbre SUPÉRIEURE.
La démonstration que nous allons présenter sera fondée sur le lemme suivant :
Lemme. — Soient z^^x-i-ij une variable imaginaire etf[z) = P -f- 1 Q une fonction entière de z, d'un degré quelconque m P et Cachant des quantités réelles. Supposons que l'équation f[z)=zo ait n racines égales à Xo-t-i/oî n pou\^ant être égal à i^et considérons le point G dont les coordonnées sont Xq et Jq, relativement à deux a^jces rectangulaires Ox^ Oj, Décrivons une circonférence du point G comme centre, avec un rayon p suffisamment petit, et désignons par o) l'angle formé, avec la direction Oo:, par la direction du rayon GM, de manière que cet angle soit nul quand GM a la direction deOxet qu'il croisse quand le rayon GM se meut toujours dans le même sens , en s' élevant de Ox vers Oy, Cela posé, si le point mobile M, partant d' une position quelconque, décrit la circonférence entière pour rei^enir à sa position première, c'est-à-dire
si l'angle (ù augmente de ait ^ le rapport -> qui, pour
chaque position du point M, a une valeur déterminée, s'annulera précisément autant de fois qu'il y a d'unités dans le nombre 2/1, et, en s' annulant, ce rapport passera toujours d'une valeur positive à une valeur négative.
On pourrait ajouter que le rapport - devient infini
un nombre de fois égal à 2n, et qu'à chaque fois il
SECTfOIS ï. CHAPITRE III. 121
passe d'une valeur négative à une valeur positive ; mais
nous avons voulu réduire notre lenime à ce qu'il a
d essentiel pour l'objet auquel nous le destinons. Il
donnera d'ailleurs le complément dont nous venons de
parler, si on l'applique à la fonction if[z). Faisons
encore une remarque importante : pour que le rapport
- ait en chaque point de la circonférence une valeur
déterminée, il suffit que le rayon p ne soit pas égal à la distance du point Zq à l'un des autres points racines de l'équation y(z) = o; mais rien ne limite la petitesse de p, et ce rayon se trouvera assujetti, dans notre démonstration, à être moindre que la plus petite des distances dont nous venons de parler.
Posons
comme on a, par hypothèse,
et que y "(-So) n'est pas nulle, la valeur de /*(^) ordonnée suivant les puissances de h sera
t . 1 . . . ff 1 .9. . . m
Si l'on désigne par p et (a le module et l'argument de la variable h, on aura
/i=: p (cosw -+- /sinu); représentons en outre par C^ et (Xy, le module et l'argument de la quantité ^ ^' ? de manière que Ton ait, pour toutes les valeurs w, /i-h i,..., m de [x,
rexpression àefl^z) deviendra
, , 1/(2) — C„p'»[cos(w« H- a„) -|-/sin(/î«.> 4- a^)]-h
et Ton aura, en conséquence
P =: C;,p'*cos(rtw H- a,J -4-...-4-C;„p"'cos(mM-4-a
Q r- C„p'*sin (/ïw -h a„) -:-... !-C,„p'"sin(m» -4-a,„ );
on aura aussi, en désignant par Q' la dérivée du polynôme Q par rapport à la variable p,
(4) Q'=z/iC„p«-^sin(«w-f-art)+...-^/wC;„p'"-*sin(mw-ha^). Cela posé, quel que soit l'angle «, on peut faire
(5) /iw-l-a„-^K 1- /7t,
en désignant par K un entier positifou négatif et par tic un angle compris entre — ^ et -f- -^ •
Supposons d'abord que le nombre K soi t i mpair, et posons
les formules (3) et (4) deviendront alors
i(,)*p~C„p« sin/îf i-..., ( — 0*Q -i-C„p'*cos/zfi-f- ( — i)*Q'" -H/iC„p«-*coswf -i
Soit maintenant B un angle positif déterminé, inférieur
à -^ et aussi petit d'ailleurs que Ton voudra ; on pourra
(n®40) assigner une quantité positive r telle, que dans chacun des polynômes
± C„ p« sin /iG -h C„^, p»-»-» -h . . . -f- C^^p'", ± C„p« cos/iô -f-C^^ip''-»-»-^- . . . -4-C;„p'", ±:/ïC„p«cos«ô-f-(/i-hi)C„H.,p«-^» f....H;„C«p'«,
SFCTIOy !.• — CHAPITTIK ITT. 1 13
le module du premier terme soit supérieur au module de la somme de tous les termes suivants pour toutes les valeurs de p comprises entre o et r. Nous donnerons kp une valeur déterminée au-dessous delà limite r, et cette valeur sera le rayon du cercle que nous avons à considérer. ,
D'après cela, t étant compris entre — y et 4- -7— » si
cet angle tombe en dehors des limites — 6 et 4-0, la valeur absolue de sin/7esera supérieure à sin/î9, et, en conséquence, le module du premier terme du second membre, dans la première des formules (6), surpassera le module de la somme des termes suivants ; donc P ne peut s^annuler que si e est compris entre — 0 et -4-0. Mais, pour les valeurs de e comprises entre — 0 et -f-0, le premier terme du second membre, dans chacune des • deux dernières formules (6), est supérieur au module de la somme des termes qui suivent; par conséquent { — i)*Q et( — i)*Q' sont positifs. Alors le polynôme ( — i)*P décroît constamment (n° 52) quand 6 croît de — 9 à -f-0; ce polynôme a d'ailleurs le signe -+- pour e = — 0, et il a le signe — pour e = -\-0; donc il s'annule une fois, et seulement une fois, quand e croît de — 0 à -f- 0. On voit aussi que ( — i)* P passe en s^annulant d'une valeur positive à une valeur négative ; et, comme ( — i )* Q reste po-
P '^itif, on peut dire que le rapport — s'annule une fois en
passant du positif au négatif, quand e croît de — 0 à -1-0. Si le nombre K est pair et que Ton ait
la première des formules (6) devra être remplacée par la suivante :
( — ij^Pr^-hCrtp^cos/ïf -h . . .;
Tangled défini plus haut est inférieure 7- ; il en est de
ir>1 COUHS D ALGÈBRE SUPÉHIFATIK.
mrmc de la valeur absolue de e; d'où il résullr que cos//e est supérieur à sin/i0, et, en conséquence, la
fonction P ne s'annule pas quand £ varie de — }
a -hy--
Maintenant, si, en partant d'une valeur quelconque de w, on veut décrire la circonférence entière, de manière à revenir au point de départ, il sera nécessaire et suffisant de donner à l'entier K 4^2 valeurs entières consécutives quelconques o, i, 2. 3,.... (4'? — 1) pî*r exemple. A chacune des 2 w valeurs impaires de K correspondra une valeur de e comprise entre — 0 et -4- 0, pour
. laquelle le rapport - s'annulera en passant du positif
au négatif, ce qui achève la démonstration de la proposition énoncée. Nous aurions pu abréger cette démonstration en prenant 6= 7-; mais le procédé que nous
avons suivi a l'avantage de montrer que les valeurs de
«w -f- «;,, pour lesquelles - s'annule, ont pour limites le>
multiples impairs de-» quand on fait décroître indciiniment l'angle ô.
OD. Au mojen du lemme que nous venons d'établir et en faisant usage de considérations ingénieuses que nous empruntons à une Note de Sturm et Liouville (M, on démontre très-facilement le théorème de Cauchy, qui consiste dans la proposition suivstlite :
Théorème. — Soient z une Dariable imaginaire -^ ■+• iy, y^(^) ^^ P -H iQ une fonction entière de cette
(' ) Journal de Mathématiques pures et appliquées^ i»'* série, 1. 1, p. i;^
SFXTION I. CHAPITRE III. f a J
variable, P et Q étant des fonctions réelles et entières des variables x et y. Traçons dans le plan des axes rectangulaires Ox, Oj un contour fermé quelconque (lui ne passe par aucun des points racines de V équation
P /'(r:) = o, auquel cas le rapport - aura, en chaque
point du contour, une valeur déterminée. Si Von suit
le contour ABCD en partant d'un point quelconque A
et en marchant toujours dans le mente sens ABCD jus-
qu'à ce qu on soit revenu nu point de départ, le rapport
- prendra diverses valeurs, et il passera par zéro
chaque fois que P sera nul, tandis quil deviendra infini lorsque Q s'annulera. Cela posé, soit k le nombre
de fois que le rapport -9 en s^ évanouissant et en changeant de signe, passe du positif au négatif. A' le nombre de fois que le même rapport, en s' évanouissant et en changeant 'de signe, passe du négatif au positif; le nombre k ne sera Jamais inférieur à // 'et l'excès k — // = A sera toujours égal au double 3|ix du nombre p. des racines égales ou inégales de l'équation f{z).^Oy comprises dans la portion du plan limitée ffur le contour ABCD.
he contour fermé ABCD est quelconque, convexe ou non convexe; pour bien fixer le sens dans lequel ce coulour doit être parcouru, imaginons un cercle (ïmi
rayon aussi petit que Ton voudra, qui touche le contour au point de départ A et qui soit entièrement situé dans l'espace limité par ce contour; en même temps supposons que Ton ait transporté les axes O jr et Or parallèlement à eux-mêmes au centre du cercle. Si Ton parcourt la circonférence du cercle en marchant de Taxe des X vers l'axe des j, lorsqu'on atteindra le point A, la direction du mouvement sur le cercle sera aussi celle du mouvement que nous considérons sur le contour ABCD. Remarquons encore que, d'après l'énoncé du théorème,
on n'a point à considérer les changements de signe que
peut offrir le rapport - quand il devient infini; en outre.
il peut arriver que ce rapport s'annule sans changer de signe, mais il n'y a pas lieu de se préoccuper de celte circonstance. Ajoutons que, pour abréger le discours, l'excès A sera dit l'excès relatif au contour donné ABCD. La démonstration que nous allons présenter se composera de quatre parties :
1° Si le théorème énoncé a lieu pour deux contours ABCA et ADBA {/ui ont une partie conununc AB^ il a
lieu aussi pour le contour total ADBC\ Jontié par leur réunion.
bECTION I. CHAPITRE III. l^J
En efiet, soient fi le nombre des racines égales ou inégales comprises dans le contour total ADBCA., et A l'excès relatif à ce contour; soient aussi fji'et A', fjt" et A" les quantités analogues pour les contours respectifs ABCA et ADBA. On a, par hypothèse
mais la somme A'-f- A'' se compose évidemment de Texcès A augmenté de la somme des deux excès qui répondent l'un à la partie AB du contour partiel ABCA et l'autre à la partie BA du second contour ABDA; il est évident que ces derniers excès sont égaux et de signes contraires ; donc on a
A = A' -h A"; d'ailleurs
donc
A =: 2pt.
11 résulte de là que :
Si le théorème énoncé a lieu pour un nombre quelconque de contours juxtaposés, il a lieu aussi pour le contour formé par leur réunion.
2° Le théorème énoncé a lieu lorsqu'il ny a aucune racine de l'équation f[z)=.Oy dans l'espace limité par le contour donné. En d'autres termes, si l'on a |jt= o, on a aussi A = o.
En effet, il peut y avoir dans Fintérieur du contour donné comme sur le contour même des points pour lesquels on a soit P=o, soit Q=o; mais, par hypothèse, il n'en existe aucun pour lequel on ait à la fois P =. o, (^ = o. Il résulte de là que l'on peut toujours décomposer l'espace limité par le contour donné en plusieurs
123 COURS d'algèbre SUPÉKIKURE.
parties telles, que chacuae ne renferme dans son intérieur ou sur son contour aucun point pour lequel on ait P = o, ou aucun point pour lequel on ait Q = o. En outre, d'après ce qui précède, le théorème de Cauchy subsistera pour le contour donné, s'il a lieu pour les divers contours partiels dont nous venons de parler ; il suffît donc de considérer ces derniers.
Si, dans l'intérieur d'un contour et sur ce contour, on n'a jamais P -— o, il est évident que Ton a A rir o, puisque
le rapport - ne s'annule pas. Si, au contraire, la fonction P s'annule,' mais que l'on n'ait jamais Q = o, la
fonction Q conservera le même signe aux divers points
p du contour et le rapport — ne pourra changer de signe
qu'en s'évanouissant. D'ailleurs, comme ce rapport reprend sa valeur primitive quand on a parcouru le contour entier, il est évident que, s'il s'est annulé k fois en passant du positif au négatif, il s'est annulé pareillement k fois en passant du négatif au positif. On a donc encore Arr:= o.
3° Lf^ théorème énoncé a lieu lorsque l'équation Ç[z) =^ o na quune seule racine, d'un degré de niullif) licite quelconque Uy dans l'espace limité par le contour donné. On a, en conséquence, A=^ a/i.
Soient iVJôCD le contour donne et G le point racine
SECTION* I. CHAPITRE III. 1 2g
du degré n de mullipHcilé. Si du point G comme centre, avec un rayon suffisamment petit, on décrit la circonférence MINK, puis que Ton joigne respectivement les deux points M et N de cette circonférence à deux points P et Q du contour donné, le théorème de Cauchy aura lieu, d'après ce qui précède et d'après le lemme du n'^oi, pour les trois contours juxtaposés KNQDAPMK., MINKM et IMPBCQNI ; donc il a lieu pour le contour proposé ABCD qui résulte de la réunion des trois précédents. Les deux premiers des contours dont il vient d'être question ont la partie commune NKM, et leur réunion forme le contour NQDAPMIN; celui-ci a, avec ledernier des trois considérés, la partie commune PMINQ, et leur réunion forme le contour ABCD.
^^ Le théorème énoncé a lieu, quelque soit le nombre des points racines compris dans le contour donné.
En effet, on peut décomposer l'espace limité par le contour en plusieurs parties qui ne contiennent chacune iju'un seul point racine ; le théorème aura lieu pour chacun des contours partiels que l'on obtiendra ainsi, et en conséquence il aura également lieu pour le contour proposé qui résulte de leur réunion.
Le théorème de Cauchy est donc complètement démontré.
56. Il faut remarquer que la démonstration précédente ne suppose en aucune façon l'existence du principe d'après lequel toute équation a une racine, et j'ajoute que ce principe n'est qu'un corollaire du théorème de Cauchy , lequel peut être regardé dès lors comme le fondement de la théorie des équations. Voici, en effet, une démonstration nouvelle du principe du n** 44, qui est analogue à celle du lemme du n*^ 5 i.
S., Aég, SUp. -ri. Q
î3o COURS D^ALGÈBRE SUPÉRIEURE.
Etant donnée réquatioii/"(z) = o, traçons deux axes rectangulaires et décrivons de leur origine comme centre un cercle dont le rayon p soit aussi grand que Ton voudra . Soit
(l) /(z)::=Ao2'''-i-A,2'«-^-+-...-+-A,„,3-f-A,„;
si Ton désigne par C^ et «j» le module et l'argument du coefficient Aj*, et que Ton pose
