M H-4(E'«-4EE")R"-+-(R'«-4RR
Texpression (ii) de 0 deviendra
1e={UH-R'X)v, + 2H (HPX + R'Z - 2R''T)r -h2H(HQX-hR'Y — 2RZ)z -f- H (2PY + 2QZ — HNX).
Maintenant, pour que cette expression devienne celle du premier membre de réqualion finale demandée, il faut que, parle moyen des polynômes indéterminés, les termes enj-z, en j et en z disparaissent de la formule (i4)' Comme le terme en yz ne figure que dans Va, il nous faut poser
et
HPX -+- R'Z — 2R^Y = o, HQX-hR'Y- 2RZ =0;
l'expression de & se réduit alors à
(17 ) e = 2HPY -h 2HQZ — H*NX.
On tire des équations (16)
(2PR-+-QR')HX=:-(R''-4RR")Y, (2QR' -f-PR')HX = — (R* — 4RR")Z;
ces formules montrent que le polynôme X est divisible par R'^ — 4RR''> q^î ^st une fonction entière de x du quatrième degré ; le quotient de la division est donc une constante que Ton peut choisir à volonté. Nous prendrons pour cette constante l'inverse de la quatrième puissance
de H changée de signe, en sorte que Ton aura
( H*X=-(R'« — 4RR"), {i8) ) H»Y = ^PR-+-QR',
( H»Z — ^QR^-f-PR';
les polynômes X, Y, Z étant connus, la formule (i5) fera connaître U. Enfin, au moyen des formules précédentes, on obtiendra cette expression de 0,
(19) e=iî[N(R'«-4RR')-t-4(P'R + PQR'+Q'R")].
qui fournit la solution de la question proposée!
Les valeurs de P et Q (données par les formules (12) renferment en dénominateur la constante H, et la valeur de N tirée de la formule (i3) a le dénominateur H^; mais on peut démontrer que ce dénominateur doit disparaître des expressions de P, Q, N, lesquelles sont ainsi des fonctions entières des coefficients des équations (i). Le dénominateur H^ disparaît également de l'expression (19) de 0, et celle-ci devient alors une fonction entière et homogène du douzième degré, relativement aux dix-huit coefficients des équations proposées ; mais nous ne démontrerons pas cette proposition qui s'écarte un peu de notre sujet.
80. Il faut remarquer que l'analyse précédente ne donne pas seulement l'équation finale demandée 0 = o, mais qu'elle fait connaître aussi les valeurs des inconnues y el z qui répondent à chacune des huit racines de cette équation finale. Effectivement, quelles que soient les wileurs Jinies que Ton attribue aux indéterminées X, Y, Z, U, dans la formule (i4)> l'expression de 0 que Ton obtiendra se réduira nécessairement à zéro, pour tous les systèmes de valeurs x, jy z qui satisfont aux équa-
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lions proposées. Or, si Ton fait successivement
U = o, X=:o, Y=— , Z=— , et
la formule ( 1 4 ) donnera ces deux valeurs correspondantes
de 0 :
e = (R'« — 4RR'')7-h(2PR +QR'),
e = (R» — 4RR") z -+- (2QR''-h PR'), qui Tune et Tautre sont nulles; on a donc
2PR -f- QR' R'«-4RR"'
