RP^--PR' , QR^ — RQ

^— pQ' QP'' -^ — PQ' — QP' *

et en égalant ensuite la seconde expression au carré de la première.

CcLS de trois équations du deuxième degré à trois inconnues.

79. Pour donner un exemple des simplifications que comportent les applications de la méthode de Bezout, nous considérerons le cas de trois équations générales du deuxième degré entre les trois inconnues x, j^, z. Soient

/ a /* -+- 2 byz -+- c s* -4- 7.dx -f- zez -f- / = o,

(i) I ay* '\-'2b'yz-\- c'z^ -f- 2<f':r-+- ae'z -+-/' =o,

( aV + 26''jz-h c"z^ H- 2dy-^ T.e^z-^f =o

les équations proposées ordonnées par rapport à^ et à j;

SECTION I. CHAPITUE IV, 169

dans chacune d'elles les trois premiers coefficients sont des constantes y les deux coefficients suivants sont des fonctions linéaires de x ; enfin le dernier terme est une fonction entière de x du deuxième degré. Nous poserons

(2) H = a [h'd' — 6V) -f- a! {b"c— bc'') 4- a" [bc' - b'c)

I D:^d(b'c^~-b''c')-^ir(b''c-bc")-hd''(bc'-b'c), E=:ze{b'c''— b"c' ) + e'(6^c - bc" ]^ €^'[bc' ~ b'c] , F =f[b'(/'-b''d)^f'[b"c—bcf') -^f"[bc' - bU] ,

, D' — d{c' a" -c^a')-h d' [c^a — ca" ) -+- d^lca' -c'a),

Y' = /( c'a^ ~ <^a') -+-/' [c^a — ca'' ) -^-f [ca' -c'a),

J>'' = d{a'b"-a''b')-h(r{a"b-ab'')-hd"[ab'-a'b), ^" = 6 [alb" - a!' h']-\-^[ a"b— ab") + é' [ab' - a' b\ r' =zf[a'b" — a" b')-irf'[ab- ab")-^/" ab' — a' b).

Alors, en éliminant successivement deux des quantités y*, j^z, z^ entre les équations (i), on obtiendra les suivantes :

/ H7»-h2D j + aE z + F =o,

(4) 1 2H/z + 2D'jr-i-2E'a -i-F'=o,

r Hz* +2D'>+2E"2-hF" = o,

qui pourront suppléer les proposées ; mais nous leur donnerons une autre forme qui permettra de faciliter les calculs ultérieurs. Si l'on pose, pour abréger Técriturc,

|R =HF +2(D'E~DE') -f- (E'*-4EE"), (5)1 R' =HF' +4(D''E —DE'') — 2{D'E'— 2D"E— 2DE''), (r'' = HF''-+-2(D^E'~D'E")-+-(D'«-4DD''),

et que Ton multiplie les équations (4) par H, on pourra

il)

170 couns d'algèbre scpériedre.

leur donner la forme suivante :

/ (H^H-E') (Hr-f-2D-E';-h2E(H24-2E"~D'1-+-R = o,

(6) ! 2(Hr+E') (FIzH-D')-8D''E-+-R'::rTO,

( (II^-i-D') (Hz-+-2E'-D')-h2D''(Hr4-2D-E'J-hR''=c nous représenterons respectivement par

les premiers membres de ces équations (6).

Pour former, d'après la méthode de Bezout, le premier membre de Téquation (inale demandée, nous multiplierons la fonction Vj par un polynôme indéterminé Ta du sixième degré qui ne renferme aucun terme divisible parj^ ou par z^; les équations V| = o, Va:=o seront ensuite employées pour faire disparaître du produit Ta V2 tous les termes qui contiendront en facteur j^* ou z'^. Construisons, pour cet objet, les formules suivantes :

(H2-hD')Vi— 2EV, = (IIj-+-E') (Hj-f-2D-E')(H2;-+-D' ~4D"E(Hj-|-2D — E') -f-R(Hz-f-D') — 2R''E,

{H7 4-E')V3-2D''Vi = (Hz-f-D')(Hz-4-2E"-D')(Hjr-4-E'; — 4D"E(HzH-2E''-D') -^R"(H7 + D') — 2RD^

(Hz + D')(nz-h2E" — D')Vi— [2E(n3-+-2E"-D')-hR]V, r=(H.r-hE')(IÏ^4- 2D-E')(HzH-D')(Hz-^2E"-D') --4D'^E(H/-i-2D-E')(HzH-2E"-D') — 2RD"(Hj + 2D — E') — 2R"E(H2-h2E" — D')~RR^;

en égalant à zéro leurs seconds membres, nous obtiendrons les équations nécessaires pour l'évanouissement des termes que nous aurons à faire disparaître.

8ECTI0W I. — CHAPITRE IV. I?!

Nous donnerons au polynôme Tj la forme suivante :

( +2(Z + D'X)(Hj-i-2D-.E')-i-U,

X, Y, Z, U désignant des fonctions entières et indéterminées de x; la première de ces fonctions, X, est du quatrième degré; Y elZ sont du cinquième; enfin U est du sixième degré. Il est presque superflu d'ajouter que c'est uniquement pour les convenances du calcul que nous écrivons Y -H E'X et Z -+- D'X au lieu de Y et Z. Comme nous l'avons dit, les formules (7) et (8) seront employées à faire disparaître du produit Ta V2 les termes divisibles par > * ou par z^ ; il est facile de voir qu'on produira cet effet en ajoutant au produit Tj V2 les seconds membres des trois formules (7) et (8) respectivement multipliés par les facteurs

ce qui revient à ajouter à Ta Va les produits Tj Vi, T3 V5, dans lesquels les facteurs Tj, Ts ont pour valeurs

; T, = — 4X(H« -+- D') (H3 -+- 2E'' -D') \ -i-8D^{Y-hE'X)-4(Z-f-D'X)(H3-f-D'),

■"' JT,=r — 4X[2E(HsH-2E" — D')-t-R]

' — 4(Y-hE'X)(H7-4-E') + 8E(Z-+-D'Xj.

Effectivement, si l'on pose

pais que l'on fasse, pour abréger,

IIP = 4 D^'R -f- (2E^ - D' ) R' - 2 F/ R'^, HQ = 4ER''-4-(2D — E')R' — 2D'R,

ly^ couKS d'algèbke supékieure.

lH»N=:4(D'«-4DD')R-h4(D'E -2DE'' — 2D"E)R'