Supposons que X soit une fonction de Xy et posons

r et s étant des fonctions entières premières entre elles. Comme

R=V R""=7«' on aura .

R = / j«, R' =z 2 Ars, R" = h\

d'où il suit que le degré de r ou de s ne peut surpasser l'unité, et, comme Tune de ces fonctions au moins ne se réduit pas à une constante, la quantité k sera nécessairement indépendante de x.

D'après les résultats obtenus au numéro précédent, on aura

D".?' + (E"— D' ) ry* H- (D — E' ) r»^ -f- Ef^r- o.

Supposons que s ne se réduise pas à une constante ; l'identité précédante prouve que E est divisible par j; d'ailleurs E est du premier degré : on a donc

a étant une constante. En substituant à E cette valeur et divisant par 5, il vient

D"j*H-(E" — D')7y + (D — E' + ar)/^=o;

on voit de même que D — E' -h «r est divisible par Sy cl,

en désignant par 6 une constante, on aura

D — E' = — ar-i-6^>

puis réquation précédente divisée par s deviendra l^s -+- (E" — D' -f- ^r)r= o;

enfin la fonction E" — D'+ Srest encore divisible par s et, en désignant par y une nouvelle constante, on aura

puis

D" = — yr.

En résumé, nos hypothèses nous ont donné les résultats

E^as, D — E' = — ar H- 65,

E"-î)' = — ^r-hys, D^z^ — yr;

et Ton aurait évidemment obtenu les mêmes formules, si Ton avait supposé r fonction de x, s pouvant être une constante.

Au lieu de la constante Ar qui entre en facteur dans les expressions de R, R', R'^, nous en introduirons une autreg^ déterminée par Téquation

^ = (6«-4a7)-^«, d'où g=±^{^^-/^ay]-A'; alors les équations (6) de nos trois surfaces deviendront

[H r-+-E' -f-(^4-6) ^][Hj-hE' ~2«r-- (^—6) .v]-4-2a5 [H«-hD' 4- (§•---€) r]z=o,

[Hr-+-E'-^(5'4-6)j](Hz-+-D')-(g'-+-6)4H^+ï>' + (é^--S)'-]=o»

[Hz -+-D'-^(g'-6; r][HzH-D'+27.ç-(§'+6)r]-27r[H7-f-E'-+-(^4-€)5]=o.

Ces équations sont satisfaites en même temps que les deui^ suivantes :

H/+E' + (^-+-6).vr=o, Hz-hD'-f-fg' — €)r=iro,

dans lesquelles g a Tune ou l'autre des deux valeurs dz ^(6* — ^ay) — k] les surfaces que nous considérons ont donc deux droites communes non situées dans le même plan. On voit aussi que le reste de l'intersection

i8o COURS d'algèbre supérieure.

de deux des trois surfaces . se compose de deux autres droites; chacune de celle-ci coupe les deux premières droites en deux points qui sont sur la troisième surface, et en conséquence elle ne peut rencontrer cette troisième surface en d^autres points.

Ainsi dans le cas dont il s'agit il n'y a plus d'équation finale.

84. Considérons enfin le cas où Ton a identiquement R= o, R'= o, R''= o. Les premiers membres des équations (6) deviennent alors

V,= (H74-E')(Hj-l-9.D-E')H-2E(Hz-h2E^ — D'),

V,= (Hr4-E')(Hz-4-D')-4D"E,

V,= (Hz + D')(Hz4-2E''~D')-4-2D*'(Hj' + 2D-E'),

et il en résulte

(Hz-I-D') Vi - (Hr-4- aD-E')V,- 2EV8=o, (H/-f-E') V, — (H3-I-2E''— D')V, — 2D'Vi=:o.

La droite qui a pour équationis

Hj -+- E' = o, E = o

appartient aux deux surfaces V| et Va, et, d'après les identités qui précèdent, le reste de l'intersection de ces deux surfaces appartient à la troisième surface V3. Pvreillement, la droite déterminée par les équations

appartient aux surfaces Vj et V3, et le reste de Tinterscction est sur V^. Enfin la droite

HJ-4-2D— E'=o, H2+2E' — D'=o

appartient aux surfaces V| et Vs, et le reste de l'intersection appartient à V^. H résulte de là que les trois surfaces considérées ont une courbe du troisième ordre commune.

SECTION I. CHAPITRE IV. l8l

Les trois droites qui complètent les intersections des surfaces deux à deux ne se rencontrent pas en général, et en conséquence elles rencontrent la courbe du troisième ordre. Dans le cas qu'on vient d'examiner il n'y a point d'équation finale.

Nous ne pousserons pas plus loin cette discussion, et nous remarquerons en terminant que nous n'avons pu rencontrer le cas où les surfaces données ont une courbe du quatrième ordre commune, parce que nous avons exclu les hypothèses dans lesquelles la constante H se réduit à zéro.

Sur les équations simultanées dans lesquelles les coefficients ont des valeurs particulières déterminées.

85. En ne considérant jusqu'à présent que des systèmes formés d'équations générales dans lesquelles les coefficients sont indéterminés, nous nous sommes affranchis de toutes les difficultés auxquelles les cas particuliers peuvent donner naissance. Nous allons présenter ici quelques considérations relatives à ces cas particuliers ; mais il n'entre pas dans nos vues d'approfondir en ce moment cette partie importante de la théorie des équations ; nous reviendrons sur ce sujet dans la deuxième Section de cet Ouvrage.

Les systèmes formés de plusieurs équations simultanées entre un pareil nombre d'inconnues peuvent être distingués en deux genres, suivant qu'ils admettent un nombre limité ou un nombre illimité de solutions. Dans le premier cas, l'équation finale relative aux équations proposées doit évidemment être comprise dans l'équation finale qui se rapporte au système composé d'équations générales, en même nombre que les proposées, et respectivement de mêmes degrés que celles-ci. Dans le deuxième cas, il n'y

iSa COURS d'algèbke supérieure.

a plus, à proprement parler, d'équation finale; cependant il .peut arriver que, parmi les solutions des équations proposées, solutions dont le nombre est, par hypothèse, illimité, il y en ait quelques-unes, en nombre fini, qui se distinguent des autres par une propriété particulière et dont la détermination mérite d'être l'objet d'une recherche spéciale; cette recherche conduira donc à une équation finale d'une nature particulière. Nous avons rencontré un exemple de ce cas (n**" 81 et 82) dans le problème qui a pour objet la recherche des points d'intersection de trois surfaces du deuxième degré qui ont une droite commune ou une conique commune.