Soient, comme au n
n équations générales des degrés mi , ma, . . . , rtin respectivement entre les n inconnues
et
l'équation finale du degré
m = nii nif . . . fitfg^
obtenue en éliminant^!, ^2,..., ^„ientreleséquations(i). On aura identiquement, comme on l'a vu,
T|, T2,...,T,, étant des fonctions entières des inconnues. On peut toujours faire en sorte que les coefficients de ces polynômes soient des fonctions entières des coefficients des équations (i), et nous admettrons qu'ils aient été ramenés à cette forme, en sorte que/{ z^) sera une fonction
SECTION I. — CHAPITRE IV. l83
«ntière de Zn et des coefficients des équations (i). Rap- • pelons encore que la méthode exposée au n°73 donne le moyen de former les m systèmes de solutions des équations (i) qui répondent respectivement aux m racines de Téquation (2).
Cela posé, donnons aux coefficients
des équations (i) les valeurs particulières
et soient
ce quedeviennent alors les équations (i). Désignons aussi f9iV f^^^[z,i)y Tj^\.., les valeurs que prennent, dans la même hypothèse, les polynômes/ (-2;,), T|,...; l'équation (2) deviendra
(5) /(o)(z„)=o, et Ton aura
(6) /(»)(z,0 = Tj°>v|^'VTi*V^*^^-... + Tj;^V^;^ .
Supposons d'abord que le premier membre de l'équation ( 5) ne se réduise pas identiquement à zéro. Il est évident, par la formule (6), que les seules valeurs finies de l'inconnue Zn qui puissent, avec des valeurs convenables des autres inconnues, constituer des systèmes de solutions pour les équations (4), sont les racines- de l'équation (5), et celle-ci sera l'équation finale relative au cas particulier que nous considérons.
Dans le passage des équations générales aux équations particulières le degré de l'équation finale peut s'abaisser par Té vanouissemen t de quelques-uns des premiers termes
l84 GOI3118 d'algèbre SUPÉRIEVEE.
de la foncliony(z;,); si ce degi'é se réduit à m — fx, l'équation finale (2) a p racines qui deviennent infinies quand on fait tendre les coefficients A, B,..., vers les limites A<®^, B^^^^,.... Il est essentiel de tenir compte de ces racines infinies et de ne point abaisser au-dessous de m le nombre des systèmes de solutions des équations proposées. Ces m systèmes de solutions nous sont donnés par les formules des n*^*73 et 74; les formules-(7) du n° 73 suffisent toujours quand Téquation finale (5) n'a pas de racines égales ; autrement il faut avoir recours aux formules (8), (9) , . . . (n°74). Le cas où l'équation finale acquiert des racines égales mérite d'arrêter notre attention ; parmi les m systèmes de solutions des équations (4), il s'en trouve alors plusieurs qui fournissent la même valeur pour l'inconnue 2„. Il peut même arriver que k de ces systèmes coïncident entièrement, et, dans ce cas, ils constituent, pour les équations proposées (4), ce qu'on nomme une solution multiple d^ ordre k.
L'équation finale relative aux équations générales (i) nous donne ainsi la véritable équation finale qui se rapporte aux équations particulières (4); mais, quand on veut obtenir celle-ci par une voie directe, il est essentiel de maintenir à chaque racine le degré de multiplicité qui lui convient.
87. Supposons maintenant que la fonction /( 2« ) se réduise identiquement à zéro quand on fait A= A^**^, B = B^®^,.... Nous poserons
A^*^ Bf*^, C^*^... étant, ainsi quee, des constantes indéterminées, en sorte que la généralité des équations (i) ne sera point altérée. En faisant cette substitution dans les polynômes Va et T* et en ordonnant ensuite les résul-
éSCTiolî I. — chapithe iv. ib5
tais par rapport aux puissances croissantes de e, on aura
V^*^ et T^^* étant des polynômes indépendants de e. La fonction y (z;,) prendra donc la formé
Par hypothèse, le terme/î<>^ (^„) est nul ; quelques-uns des coefficients des puissances de e peuvent aussi se réduire à zéro, mais ils ne peuvent pas tous s'évanouir, car l'expression précédente dey( Zn ) se rapporte toujours à un système d'équations générales. Désignons par Z^»*' [z^ le premier des coeificients qui sont différents de zéro, on aura alors identiquement
et l'expression àef[z,i) deviendra
en conséquence, l'équation finale relative au système général (i) prendra la forme
Maintenant, pour passer des équations générales aux équations particulières (4), il suffît de faire tendre e vers zéro, et à la limite l'équation finale se réduira à
L'analyse qui précède nous conduit donc toujours à une équation limite, soit que les équations proposées admettent des solutions en nombre limité, soit que ces
i86 COURS d'algèbre supérieure.
équations constituent un système indéterminé, et admettent en conséquence une infinité de solutions.
Lorsque le premier cas a lieu, il y a pour les équations proposées une certaine équation finale
qui est indépendante des quantités arbitraires A^*\ B^*', C^*\... et dont le premier membre est évidemment un diviseur def^^^ {^n)'y on a donc
^{Zfi) étant une fonction entière de z« et des arbitraires A^*), B^^ ),....
Lorsque les équations proposées admettent une infinité de solutions, il ny a plus d'équation finale; Téquation limite
correspond à ce qu'on nomme, dans la Géométrie, une em^eloppe. Elle fournit les valeurs limites qui conviennent à Tinconnue Zn, dans le cas d'un système variable que l'on fait tendre, suivant une loi quelconque, vers un système composé d'équations indéterminées.
88. Les considérations que nous venons de présenter ' peuvent se résumer par les propositions suivantes :
Le degré de l'équation finale qui résulte de Vélimi* nation de n — i inconnues entre n équations algébriques quelconques à n inconnues est au plus égal au produit des degrés de ces équations.
Dans le passage d'un système d'équations générales à un système d'équations particulières respectis^ement de mêmes degrés j le degré de l'équation finale peut s' abaisser^ soit par V é^^anouissement de quelque s ter mes, soit par la suppression d'un facteur.
Il serait facile d'établir par notre analyse que l'équation finale relative aux équations (4) peut toujours se mettre sous la forme
S|, S2,...,S« étant des fonctions entières. La détermination directe de ces polynômes multiplicateurs, dans les différents cas qui peuvent se présenter, est le problème que Bczout s'est proposé de résoudre, et dont le développement forme l'objet de la ITiéorie des équations algébriques, que nous lui devons. La solution n'est pas exempte de difficultés, et l'application de la théorie est fort laborieuse ; aussi nous n'entrerons à ce sujet dans «lucun détail, et nous renverrons à la Section suivante, où l'on trouvera l'exposition d'une nouvelle méthode d'élimination.
11 ne sera pas inutile, en terminant, de présenter un exemple simple dans lequel le degré de l'équation finale s'abaisse par la. suppression d'un facteur. Je choisirai, à cet effet, le cas de deux équations du deuxième degré que nous avons déjà considéré au n°78. Les inconnues étant X et j^, soient
V, = P^« -hQj +R =0, V,=:P'y + Q.r-+-R'=:o
deux équations générales du deuxième degré ; P et P sont des constantes, Q et Q^ sont des fonctions linéaires de Xy R et R' sont des fonctions entières du deuxième degré. Les facteurs T<, Tj, par lesquels il faut multiplier respectivement V| et V2, ont ici pour valeurs
Ti =— (PQ' — QP') (P\r-f-Q') — P'(RP' — PR), Ï, = + (PQ'~QP')(P^ -f-Q) +P(RP'-PR'),
l88 COURS d'algèbre SUI>éRIEtIllE.
et le premier membre de l'équation finale est
(3) ïi V, -f- T, V, = (PQ' - QP) (QR' — RQ) - (RP' - PR')«.
Ce premier membre se réduit à zéro, ainsi que les polynômes Ti et T^ lorsqu'on suppose P = o, P'= o. Posons, conformément à ce qui a été dit précédemment,
les formules (2) et (3) donneront
7 =t {PQ!-P'Q) Q + « [{PQ'-P'(l)pr -^ P {p'K-pK%
et
îiV,4-^V, = (/,Q'-;,'Q)(QR'~RQ')-e(yR-;.R')«.
Faisons tendre maintenant t vers zéro et désignons par Vf, Y['\ T['\ T['\ les limites de V|, V„ î? et î-S on aura
^l'^=-{p(i'-p'Q)Q'. t;^^-- 4.(pQ'-//Q)Q, et
T^^»>v|'^-4-T^'Wi^^ = (/?Q'~yQ)(QR'-RQ').
Si Ton remplace dans cette dernière formule T^^ et Tj*^ parleurs valeurs, les deux membres contiendront le facteur/;Q' — f/Çlj et en supprimant ce facteur il viendra
Q' v[°^ -4- Q V['^ = QR'— RQ' ;
Téquation finale se réduit donc à QR' — RQ' = o,
SECTION I. CU.VPiTIlli IV. 1 8y
et, comme on le volt, elle s'est abaissée au troisième degré par la suppression d'un facteur.
Si Ton suppose que x et j^ représentent des coordonnées rectilignes, les éc^uations proposées seront celles de deux coniques. L'équation finale que nous venons d'oblenir feraconnaître les abscisses de trois des points d'intersection, mais les deux coniques doivent être regardées comme ayant un quatrième point commun situé à l'infini; l'ordonnée j^ de ce quatrième point est infinie, mais l'abscisse x est complètement indéterminée.
L'existence de solutions indéterminées se manifeste même chez les équations du premier degré. EfTeclive ment, les deux équations
a y l 6x -h c = G, a'jr -{- b' x -\- c' = o
représentent deux droites qui deviennent parallèles lorsqu'on suppose a = o,a'=o. L'ordonnée du point d'in- Icrsection est alors infinie, mais l'abscisse est indéterminée.
Théorème relatif au degré de multiplicité des solutions de deux équations simultanées à deux inconnues,
89. Il existe, à l'égard des solutions multiples d'un système d'équations simultanées, un théorème analogue à celui qui concerne les racines multiples des équations à une inconnue. Nous allons établir ici ce théorème en nous bornant au cas de deux équations à deux inconnues x et y.
Soient
deux équations des degrés m et n respectivement et auxquelles nous supposons la plus grande généralité possible. Pour donner à ces équations la solution x = Xq, j =yQy ilsufïira d'assujettir les arbitraires contenues dans^etF
190 covus d'algèbre supérieure.
aux deux conditions
(2) /(a:o,Xo)=0, F(.ro,Jo)=0.
Cela étant, ordonnons f[xyj)y F(j7,/) par rapport à X — Xo et j^ — jf^y puis posons
il est évident que les premiers membres des équations ( 1 ) prendront la forme
C5>^(f ), 4>v( r) étant des fonctions entières de t, la première du degré |!Ji etla seconde du degré v ; dans ce qui va suivre, les indices /ui et v pourront surpasser ni et n respectivement, mais dans ce cas on fera cf ^ ( z ) = o , <I>v ( < ) =1 o- Désignons par
une fonction entière arbitraire, d'un degré quelconque 5, des deux variables x etj^, et que nous ordonnons de la même manière que les fonctions y et F. On aura identiquement
(4) ?[x,r)-f[:r,y)^[x,jr)=.[x^x,yr,^[x^x,YT^-^,. ., en posant, pour abréger,
Ti=:*iW-Oo(0?l(0'
T3 = *,W~[«^o(0?s(0-Hoi(0?î(0-^-«^î{0?i(^)]'
T^ = *,(t)-[«ro(t)ç,(/)4-t:F,(/)ç^t(0 + ... + o,-,(0?i(OJ.
et si Ton dispose des arbitraires contenues dans les fonc-
SECTION t. — chapithe IV. 191
tîonsyet F, ainsi que de celles contenues dans (j/, de manière que l'on ait identiquement
(5) Ti = o, T, = o, ..., Tjt-i = o,
la formule (4) deviendra
Cela posé, supposons qu'on veuille donner aux équations proposées la solution a: = Xoj'^ = 7i; ^^ suffira que le second membre de la première formule (3) et celui de la formule (6) se réduisent à zéro pour x==j:i et
t = -î — ~ \ ces valeurs de a: et de ic devront donc satis-
J-, — .ro
faire aux deux équations
(j>i(/)+(.r-.ro)ç,(/)-4-... = 0,
Mais, si l'on fait varier X| et 7 ^ de manière que ces quantités tendent vers les limites x^ et j>^o> les deux conditions imposées aux arbitraires se réduiront à une seule à la limite, car il suffira que les deux équations
?i(0 = «' Ta~o soient satisfaites par la même valeur de t ; cette valeur
sera égale à la limite vers laquelle tend le rapport ^-^ — —
.rj — jTq
quand j^i elx^ tendent vers jo et Xq, Gomme la première des équations précédentes est du premier degré, la condition dont nous venons de parler équivaut à celle de la divisibilité de Tk par ^\{t)\ enfin, parce que T^t renferme le terme V5h^\ {t) ?i (0 ^^ 4^^ ^^^ conditions (5) laissent cJa»! {t) indéterminée, on peut supposer cette fonction choisie de manière que l'on ait identiquement
On voit donc que, si l'on dispose des quantités quire»-
i()2 COURS d'àlgèbue supérieuhe.
tent arbitraires de manière à satisfaire à l'équation (7), on augmentera d'une unité (n** 86) le degré de multiplicité de la solution (xo,j>^o)-
11 résulte delà que les formules (5) donnent les conditions nécessaires et suffisantes pour que le degré de multiplicité de la solution (jTcj^o) soit égal à A; ces mêmes formules expriment qu'il existe une fonction ^ (pc^y) telle, que l'équation (6) ait lieu identiquement. Il faut remarquer que le polynôme T;^ n'est pas divisible parçi(£), à moins que le degré de multiplicité de la solution (xcj^oj ne soit supérieur à A ; en outre il est évident qu'en disposant de la fonction indéterminée tj^-i (^), on pourra réduire Ta à une constante différente de zéro.
Remplaçons^ par sa valeur* —y la formule (6) de-
viendra
;((j:,j^^) étant, d'après ce que nous venons de dire, un polynôme de la forme
où G et Gp, ^ désignent des coefficients constants et où le
signe \ embrasse un nombre limité de termes dans
chacun desquels le degré /? -f- y est supérieur à k.
Nous emploierons les caractéristiques D^^, D^ pour représenter les dérivées de nos polynômes prises par rapport àx etàj respectivement; ainsip,F(a',j'), D^ F (.r, j^) désigneront les dérivées de ¥{x,j) relativement à a: et k y. Cela posé, si dans l'identité (8) on remplace x par a: -I- /k, et qu'on égale les coefficients de la première puissance de h dans les deux membres, il viendra
(10) D^F(x,7)-/(^,7)D,'H-^^7)-+(-^»7)D^/l.^r)r:rD,X('^,r)i
SECTION I. CHAPITEE IV. 198
on aura aussi, en opérant de la même manière à Tégard dej,
11) i>y F(^^r)-/(-^.r)i>y+('^.r) -+(^,r)Dy f[^. r) = Dy X (^, rY
Nous poserons et nous ferons en même temps, pour abréger récriture,
*i(^,r)=Dy/(jf,:r).D,^Kx,jr)D,/(^,^).Dy>K^,/.),
Alors, en ajoutant entre elles les équations (lo)et(i i) respectivement multipliées parH-D^y(a:,j^) et — ^xf{jCyj)f on trouvera
(i3) Et (x, ^) -/(.r, jr) 4». (^.7) = zi (^1 r)-
Les termes du premier degré en x — x© etj^ — Yq dans f[xyy) ont pour somme (j: — Xq) fi (^), et la dérivée de cette somme par rapport ky est égale au coefficient g' de f dans 9i(i), coefficient que toute notre analyse suppose différent de zéro. Il en résulte que ^i (^>JK) contiendra le terme hgG(x — J^o)*"* avec d'autres termes qui seront tous d'un degré supérieur à k — i par rapport à x — Xo et y — jq ; cette fonction ^i («^j J") ^"^^i donc la forme
HetHp,^ étant des constantes, et la somme /?-+-^ étant supérieure à A: — i .
Les formules (i3) et(i4) montrent que (xo,jKo) est une solution multiple d'ordre k — i pour les équations simultanées
Ce résultat subsistera lorsqu'on donnera des valeurs particulières aux quantités qui restent arbitraires dans F et dans/*, lors même que ces valeurs feraient disparaître t de S. — Jlg* iup., I. 1 3
194 COURS d'algèbee supérieure.
(Pi [t), pourvu cependant que (ji (t) ne se réduise pas à zéro. On évitera effectivemenl ce cas si Ton reprend l'analyse qui précède, après y avoir changé les lettres x et j Tune dans Tautre.
Mais, si Çi (t) se réduit identiquement à zéro, la conclusion précédente ne peut pas être maintenue ; dans ce cas, les deux équations
admettent la solution x = Xo7j=yo'
Comme rien ne distingue les équations (i) Tune de l'autre, on peut énoncer le théorème suivant que nous avions en vue :
Théorème. — Soient J'{x, y) =zOy F [x, y) z= o deiix équations simultanées , et ¥^ {^yj) l^ différence Tfyf{x,y) D:,F(a:,^)-D,/(x,j) D^F(x,^). Si les équations proposées admettent la solution x = Xa, y = j-o ^^^c ^^ degré de multiplicité ky les équations Fi[x,j) = o, f [x,j) =0 admettront la même solution a\^ec un degré de multiplicité précisément égal à k — I, à moins que cette solution n'appartienne aux deux équations D^/(a:, j^)= o, DyJ*(x,y) = o. Pareillement les équationsFi{x,j) = o, F{x,y) =o admettront la solution X = Xo, y =jo ^^^c le degré de multiplicité k — i , à jnoins que les deux équations DjF(j:, j) =o, D^F [Xj y)=z o n'aient cette même solution.
On voit que, dans tous les cas, une solution multiple des équations /(x, j)-= o, F{xyj) = o satisfait nécessairement à Téquation
Dy/(:r,^).D^F(^,r)-D*/(^»r)-I>yï'(^»r) = o.
90. La proposition que nous venons d'établir comprend le théorème qui se rapporte aux racines multiples des
SECTION I. CHAPITRE IT- IpS
équations à une seule inconnue; car, si on l'applique aux deux équations f(jo) = o, j^ = o, dont la première a k racines égales à x©, elle indiquera que Téquation f{a:) = o a A: — i racines égales à Xq,
Mais le nouveau théorème n'a pas une étendue aussi grande que le premier, car nous avons exclu le cas d'une solution multiple qui satisferait aux quatre équations obtenues en égalant à zéro les dérivées relatives kx et ky des premiers membres des équations proposées. Ce cas eèt celui dans lequel la solution que Ton considère est une solution multiple de chacune des équations prises séparément. En effet, si Ton pose, comme au n*^ 89,
et que la fonction /"(x, y) du degré m puisse se mettre sous la forme
/(.r,j)=(a:-aro)*ç;fc(O^...H-(^-~-^.r<Pm(0»
O* (f) étant d'un degré égal à k, parmi les racines de Téquation
il y en aura k qui tendront vers des limites finies quand on fera tendre x vers Xq, d'où il résulte que à solutions de l'équation f[x,j) = o viendront se confondre à la limite avec la solution (a:o,jKo)- Si l'on suppose que x eiy représentent des coordonnées rectilignes on pourra dire que le point (xo, j^o) est un point multiple d'ordre k pour la courbe représentée par l'équation y (x,j') = o.
Nous avons cru utile de faire cette indication, mais nous n'entrerons point dans l'examen des détails du cas singulier dont il vient d'être question. Remarquons seulement que, si deux équations
f[a:,jr)=0, F(x,/)=:0
admettent la solution [xq, Jq) avec le degré de mulliplîcîté ky mais que cette solution soit simple pour chaque équation prise séparément, on pourra remplacer l'une des équations par une autre pour laquelle la solution (^o> y"o) ait le degré de multiplicité k. Il est évident, en efiFet, qu'à la dernière des deux précédentes équations on peut substituer la suivante :
qui remplira la condition requise si l'on détermine la fonction (p (x,j) comme on Ta expliqué au numéro précédent.
application de la théorie du plus grand commun diviseur à la recherche des solutions communes à deux équations à deux inconnues.
91 . La théorie du plus grand commun diviseur fournit une méthode très-simple pour ramener la résolution de deux équations à deux inconnues à celle d'un ou de plusieurs systèmes dans lesquels l'une des équations ne renferme qu'une seule inconnue. Nous allons exposer ici cette méthode.
Soient
deux équations algébriques entre les inconnues x et y. Si les polynômes V^ et Va sont décomposables en facteurs, de manière que l'on ait
Vi = v^î v^») . . . y[^\ V, = vy > v(») . . . v^;),
il est évident que la recherche des solutions du système (i) se ramènera à celle des solutions des ^v systèmes
(2) Vi/)=o, V'/) = o,
les indices supérieurs i et jf pouvant recevoir les valeurs 1 , 2y . . . , fx et I , a, . . . , V respectivement.
Si les équations qui composent l'un des systèmes (2) rentrent l'une dans l'autre, ce système sera indéterminé et la même chose aura lieu à l'égard du système proposé.
Si les équations (2) ne renferment l'une et l'autre qu'une seule inconnue, x par exemple, elles seront incompatibles et elles ne fourniront aucune solution des équations proposées, à moins que leurs premiers membres n'aient un diviseur commun. Alors, si l'on prend l'une des valeurs de x qui annulent ce diviseur commun, avec une valeur arbitraire de j'y on satisfera évidemment aux équations ( i ) ; ce cas est compris dans le précédent.
Si les équations ( 2 ) renferment seulement, l'une l'inconnue X, l'autre l'inconnue y, chacune d'elles aura autant de racines qu'il y a d'unités dans son degré, et en combinant successivement chaque racine x avec chaque racine^, on obtiendra tous les systèmes de solutions des équations (2).
Enfin, si, l'une des équations (2) renfermant les deux inconnues, l'autre n'en contient qu'une seule, x par exemple, celle-ci admettra une ou plusieurs racines, et la première équation fournira une ou plusieurs valeurs de y correspondant à chaque racine x. La recherche des solutions des équations simultanées (2) n'offre donc alors que les difficultés du problème de la résolution d'une équation à une inconnue.
En général, avant de procéder à la recherche des solutions des équations proposées (i), il conviendra de débarrasser leurs premiers membres des facteurs fonctions de X ou fonctions de y que ces polynômes peuvent admettre. On appliquera à cet effet la méthode du n° 47 ; par exemple, pour avoir les facteurs de V| qui ne dépendent que de x, on ordonnera ce polynôme par rap*
igS COURS d'algèbre supérieure.
port à y^ ensuite on cherchera le plus grand commun diviseur de deux des coefficients, puis le plus grand commun diviseur entre ce premier plus grand commun diviseur et un troisième coefficient, et ainsi de suite. Cette opération ayant été exécutée, on sera ramené, d'après ce qui précède, au cas de deux équations dont les premiers membres n'ont aucun diviseur fonction d'une seule inconnue.
92. On est naturellement conduit, comme on va le voir, à appliquer la méthode du plus grand commun diviseur dans la recherche des solutions communes à deux équations.
Soient
(i) Vi = o, V,=o
les équations proposées entre les inconnues x etj'. Conformément à ce qui a été dit au numéro précédent, nous admettrons que les polynômes V| et V2 n'ont aucun diviseur commun ;■ ces polynômes ayant été ordonnés par rapport aux puissances décroissantes de j^, supposons que le degré de V| par rapport \y ne soit pas inférieur au degré de Va. Divisons V| par V2, et désignons parQi le quotient, par V3 le reste de la division ; on aura
Si la division n'a introduit aucun dénominateur fonction de X, Qi et Va seront des fonctions entières; par suite, les valeurs simultanées de x et de ^ qui annulent Vj donneront
et, en conséquence, le système proposé (i) admettra les mêmes sokitions que le système formé des équations
qui est évidemment plus simple.
SECTION I. CHAPITHB IV. 199
Supposons, d'après cela, que l'on opère sur les polynômes V| et V2, comme s'il était question de chercher leur plus grand commun diviseur; on sera conduit à une suite d'égalités telles que
Va, V4, . . . Vn sont des fonctions entières dej^ dont les degrés formeront une suite décroissante, et la dernière fonction V,j est indépendante de y. Si aucune des divisions qu'on vient d'exécuter n'a introduit de diviseurs fonctions de a:, en sorte que Qi, Qa, . . . , Q» soient des fonctions entières de x et de j, ainsi queVj, V4, . • . , V^, il est évident que les solutions du système (1) seront les mêmes que celles du système
dans lequel Tune des équations ne renferme que l'inconnue X, et celle-ci sera l'équation finale qui résulte de l'élimination de y entre les proposées.
Mais, le plus souvent, la recherche du plus grand commun diviseur des polynômes V| et Va introduit des dénominateurs fonctions de x\ dans ce cas, les conclusions précédentes ne subsistent pas. Si, par exemple, la division de V| par Va introduit de tels dénominateurs,
N le quotient Qi sera de la formé —> N et D étant des fonctions entières ; on aura
et l'égalité V| =V3 n'aura plus lieu nécessairement pour les valeurs de x et y qui annulent Va^ parce que le dé-
Dominateur D peut alors se réduire aussi à zéro. Toutefois, on évitera les dénominateurs fonctions de x, si, avant de commencer la division, on multiplie le polynôme V| par une fonction entière X de x, convenablement choisie ; on aura alors
XVt=V,Q.-+-V,.
Les solutions des équations V| = o, Vj = o sont comprises parmi celles des équations V2 = o, Vs = o ; mais ces dernières admettent en outre les solutions des éqtiations X = o. Va = o ; donc, quand on remplacera le système (i) par le système (2), on ne supprimera aucune des véritables solutions, mais on pourra en introduire qui soient étrangères à la question.
Il était important d'éviter ces solutions étrangères introduites par la méthode du plus grand commun diviseur. Labatie a fait connaître en 1882 un théorème que nous allons exposer et qui remplit cet objet de la manière la plus heureuse.
Théorème de Labatie.
93. Soient V| et Va deux fonctions entières de x et dey qui n'ont pas de diviseur commun et qui ne renferment aucun facteur indépendant de y; ordonnons Vi et Va par rapport à y et opérons sur ces polynômes comme s'il était question de chercher leur plus grand commun dit^iseury en ayant soin : i^ de multiplier chaque dit^idende par une fonction entière de x, choisie de manière à ét^iter les dénominateurs fonctions de cette inconnue; 2^ de débarrasser chaque reste des facteurs indépendants dey qu'il peut avoir, avant de le prendre pour diviseur.
Soient i/f, Ua» .. • , Ur les multiplicateurs ainsi em-
SECTION I. CHAPITHE IV. 201
ployés, Qo Q2> • • • > Q/i '^^ quotients obtenus dans les divisions succçsswes y ef Vj j^i , V4 p'2> • • • > V„4.| %^n^\ » ^n l^s restes de ces dwisioTis; le dernier reste Un est indépendant dey, et, dans ceux qui le précèdent, ^'^ , v^a, . . . , \^n^^ désignent des facteur^s fonctions de x seule, de manière que V3, V4, . . . , Vrt+i ne renferment aucun facteur indépendant dey.
Soient encore d^ le plus grand commun diuiseur de
Ui et de u^j d^ celui de -^ et de U2, d^ celui de ---—
et de P'a, . . , rf„ celui de , ^ , ' ' ' ' " et de i^n'
didz, . .rfrt|
Cela posé, on obtiendra toutes les solutions communes des deux équations
siÊiis aucune solution étrangère, en prenant les solutions de chacun des n systèmes
[v,=o-j rv,=o-| rv*=oT rv„^,=o-|
On a les égalités
«iV, = V,Q,H-V,^„
qui seront toutes comprises dans la suivante :
u^ Vj, — V^+i Q^ -h VpH-t %^
si l'on attribue à fA toutes les valeurs i, a, . . . , 7t et que l'on prenne V„^a égale à l'unité.
Les multiplicateurs u^ peuvent être choisis de manière que u^ et i^^ n'aient aucun diviseur .commun ; par exemple y si le plus grand commun diviseur rf| de iX| et de Ui ne se réduit pas à l'unité, le produit V2 Qi sera divisible par r/|, d'après la première des égalités (3), et ce produit s'annulera si l'on prend pour j: l'une des racines de l'équation rf, = o; mais le polynôme Va ne peut être nul, puisqu'il n'a aucun diviseur indépendant dey; donc il faut que Q, s'annule, et en conséquence Qi est divisible par di , quel que soit 7. Il résulte de là qu'au lieu
du multiplicateur U| on aurait pu choisir -^^ ; dans les applications du théorème de Labatie, il conviendra toujours d'adopter les multiplicateurs les plus simples ; cependant la démonstration que nous allons présenter ne suppose poiiU que l'on ait pris cette précaution.
Si, entre les fx — i premières des égalités (3), on élimine Va, Vs, . . ., Vj^i, il est évident que le produit Wi aa . . . fi^j V| se trouvera exprimé par la somme des polynômes V^, V^.^.!, multipliés chacun par une fonction entière, et il est facile de voir que, si l'on divise par di d^^-^d^^ l'égalité ainsi obtenue, elle prendra la forme
G^i et G^j désignant des fonctions entières. D'abord, pour |UL= 2, celte formule devient
et elle coïncidera avec la première des égalités (3), si Ton divise celle-ci par d^ et que l'on pose
SECTIOW 1. — CHAPITRE IV. ao3
celte valeur de G| est entière, car, ainsi que nous l'avons montré plus haut, Q, est divisible par d^. D'après cela, pour établir la formule (4), il suffit de montrer que, si elle a lieu pour une valeur de fx, elle subsiste encore pour la même valeur augmentée de i . A cet effet, multiplions
la formule (4) par -p et remplaçons ensuite Uj^ V^ par sa
valeur tirée des égalités (3), savoir
si Ton pose, pour abréger.
il viendra
par hypothèse, Gp^i est une fonction entière; donc, à cause de la précédente égalité, le produit G^ V^^.1 est pareillement une fonction entière, ce qui exige que G^^le soit aussi, puisque V^^^, n'a pas de facteurs indépendants de j. La formule précédente se déduit de la formule (4) en remplacent ^ par |ut 4- 1 : donc notre assertion se trouve justifiée. En même temps, on voit que les fonctions G2, Gj, . . . seront données successivement par la formule (6), en partant des valeurs connues de G© et de G| .
Le polynôme Va est lié aux ionctions V^ et V^^^ par une relation analogue à la formule (4)- On a effectivement
Hii-i et H^2 désignant des fonctions entières. Cette
ao4 COURS d'algèbre supérieure.
formule se déduit de la formule (4) en changeant dans celle-ci V| en V2 et en remplaçant la lettre G par H ; donc le raisonnement qui a servi pour établir la formule (4) prouve que, si notre nouvelle assertion s'applique à une valeur de fx, elle subsiste pour la même valeur augmentée de i. Le même raisonnement montre encore que Ton a
Or la formule (7) se réduit à une identité, pour /x = 2, si Ton fait
(9) Ho = o, Hi=^;
donc elle est générale, et en partant des valeurs (9) de Ho et de H|, la formule (8) déterminera toutes les fonctions entières H^.
En retranchant les égalités (6) et (8) l'une de l'autre, après les avoir multipliées respectivement par H^^i el Gj^i, on obtient
GpkHjt—i — Hjfc Gjj^i = — -7 — -j- ( ^v^i Hjt-t — H,^i Gp^i ) ;
remplaçons jx successivement par 2, 3, . . . , fx et multiplions entre elles les fx — i égalités résultantes, il viendra
ou, à cause des formules (5) et (9),
Enfin, si Ton retranche les formules (4) et (7) Tune de l'autre, après avoir multiplié la première par H,^,
SECTION I. CHAPITRE IV. ao5
et la seconde par G^i, il viendra
et, ayant égard à la formule (10), on aura simplement (M) H^.V.-G^.V, = (-.)^22...^V,..; en particulier pour (ix = /i -H i , on a
Les formules (4), (7), (11) et (la), que nous venons de tirer des égalités (3), fournissent immédiatement la démonstration du théorème de Labatie.
En effet, les fonctions "^"'' --"^-i ^^ ^ n'ayant au-
cun diviseur commun, les formules (4) et (7) montrent que les valeurs de :r et de j qui annulent V^ et
~^ annulent nécessairement V, et Va ; donc, en premier lieu, toutes les solutions des dwers systèmes (2) sont des solutions des équations (i).
En second lieu, si des valeurs simultanées de x et de r annulent V| et Va, la valeur de x annulera, d'après la
formule (i 2 )^ l'une au moins des fonctions— 5 -^5 ..., — .
Si la première de ces fonctions s'annule, les valeurs de
X et de j que nous considérons seront des solutions
du premier système (2); supposons généralement que
^ soit la première fonction qui s'annule; alors la formule (11) montre que Y^^ doit s'annuler, et en consé-
2o6 COURS d'algèbre supérieure.
quence les valeurs de j: et dey qui, par hypothèse, satisfont aux équations (i), satisferont également à celui des systèmes ( 2 ) qui occupe le fx'*"® rang. Donc : toutes les solutions des équations (i) satisfont à l'un au moins des systèmes (2), ce qui achève la démonstration du théorème énoncé.
Remarques. — Le théorème de Labatie donne les diverses solutions des équations proposées, avec le degré de multiplicité qui leur convient; mais cette proposition nouvelle ne me paraît pas avoir une importance assez grande pour que je m'arrête à en présenter la démonstration.
94. Le théorème qui précède se rapporte exclusivement aux solutions finies et déterminées des équations proposées. Pour avoir les systèmes de solutions déterminées dans lesquelles la valeur de y est infiQie, il suffit d'ordonner les équations par rapport aux puissances décroissantes de y, et de chercher le plus grand commun diviseur entre les coefficients du premier terme de Tune et de l'autre équation. On égalera ce plus grand commun diviseur à zéro, et les racines de l'équation obtenue seront les valeurs cherchées de x.
On procédera d'une manière semblable pour trouver lès solutions dans lesquelles la valeur de x est infinie.
application de l'élimination à la transformation des équations,
95. Le problème que l'on a en vue, dans la transformation des équations, peut être énoncé de la manière suivante :
Etant donnée une équation f{z) = o du degré m, dont les racines sont représentées par 2 < , «a> • • • > ^mjfor-
mer une équation F (u) = o dont chaque racine u s' exprime par une fonction rationnelle donnée (^ [ZiyZ2y.,,,Zy) de [i racines de la proposée.
Il est évident que la solution de ce problème s'obtiendra en éliminant les p quantités Z|, -Zj, . . . ,2^ entre lesfz •+- 1 équations
En traitant la question à ce point de vue, chacune des racines z^, z^, • - -, z^ est considérée comme ayant m valeurs différentes, et, par suite, u doit avoir en général m^ valeurs distinctes; Téquation finale en u sera donc du deg:ré m^. Il en résulte que, si Ton s'impose la condition que les quantités Z|, Z2y . . . , z,^ soient distinctes, sauf le cas où la proposée aurait des racines égales, on obtiendra une transformée qui sera compliquée de solutions étrangères à la question. On peut cependant, dans chaque cas, diriger le calcul de l'élimination de manière à éviter ces solutions étrangères, mais le plus souvent il est préférable de résoudre le problème de la transformation par une autre méthode qui sera exposée dans la Section II. Nous nous bornerons ici à présenter deux exemples.
96. Problème I. — Etant donnée une équation f(z)=iodu degré m, former une équation F (u) = o dont les racines soient les sommes prises deux à deux des racines de la première équation.
Désignons par z et par z^ une racine quelconque de réquationy(-2) = o. D'après ce qui a été dit plus haut, l'équation en u sera le résultat de l'élimination de z et z^ entre
2o8 COURS d'algèbre supérieure.
ou le résultat de l'élimination de z entre les deux.
Mais ce système peut lui-même être remplacé par le suivant,
dans lequel la deuxième équation a pour premier membre le produit de deux fonctions entières, savoir
et u — 2z.
Il s'ensuit que l'équation finale en u, relative aux deux équations qui précèdent, sera le produit des deux équations finales qui se rapportent respectivement aux deux systèmes
et
(2) /(«)=0, tt — 23 = 0.
L'équation qui résulte de l'élimination de u entre les équations de ce dernier système est
et elle a pour racines les doubles z -f- -^^ ^< 4- -^i > • • • des racines de l'équation proposée.
Comme on a
u— :iz ^ ^ ' 1.2 *^ ^ ' 1.2 ...m ' ^ '
on voit que l'équation demandée s'obtiendra par l'élimination de u entre les deux équations
(3) /w=o. /'(«)+ îi=2f/"(3)-....+ (iir l^)r^/«(.)=o}
SECTION I. CHAPITRE IV, QOg
<[uant au degré de cette équation, on voit a priori qu'il doit être égal au nombre des combinaisons de m choses
deux à deux, c'est-à-dire égal à — ~ "^ ■ »
S'il s'agit de l'équation di^ deuxième degré
/(z) = a*H-/?«î-:-9=o, on aura
La deuxième des équations (3) se réduit à
et, comme elle ne renferme pas z, elle n'est autre que l'équation demandée; ce résultat est évident.
Dans le cas du troisième degré, la méthode générale est susceptible de simplification ; car, soit l'équation
et désignons par z, Z|, z^ les trois racines. Si l'on fait Zi -f. 22 = Uf on aura z = — u — p, et, jpar suite,
/(— «— P) = Oî celte équation est précisément la transformée demandée.
97. Problème II. — Etant donnée une équation f'^s) = qdu degré m, former une équation F(tt) = o, dont les racines soient les différences deux à deux des racines de la proposée, ■
Désignons comme précédemment par z et par z^ une racine quelconque de l'équation y ( -s) =: o; l'équation en H s'obtiendra en éliminant z et z^ entre
/(«)=Oi /(»l)=0, tt=Zi— s,
ou, en éliminant z entre les deux
S-, Aig. stip, — I. x4
Ce système peut être remplacé par le suivant : lequel se décompose en deux autres, savoir :
(2) /{z)=zo, u = o.
Les systèmes de solutions du système (2) sont formés d*une quelconque des racines z de la proposée et d'une valeur nulle de u; quant aux équations (i), elles peuvent être écrites sous la forme
elles donneront pour équation finale la transformée F (m) = o que Ton cherche, et celle-ci n'aura de racines nulles que si la proposée a des racîi^es égales.
On reconnaît a priori que le degré de l'équation demandée est égal au nombre des arrangements de m choses deux à deux, c'est-à-dire égal km {m — i) ; en outre, il est évident que les /»( m — i) racines de cette équation formeront des couples tels que z — z^=Ui,z^ — z = — U| de deux racines égales et de signes contraires, en sorte que
son premier membre sera le produit de — i facteurs
de la forme u* — uj , et il ne renfermera que des puissances paires de u. L'équation F (u) = o s'abaissera donc
au degré — en posant u* = j/; l'équation en i/ est
dite V équation aux carrés des différences des racines de la proposée.
SECTION I. CHÀPITKE IV. 211
Exemple. — Appliquons ce qui précède à réquation du troisième degré
(i) «•-hPa*-i-Qz-f-R = o.
Si Ton remplace z par z — ^^ et que ron pose (n*' 62)
