désignant la racine positive de Téquation

je:

l — 20a:J — Qx^ — 1 = 0.

Nous étudierons dans la suite de cet Ouvrage les équations qui possèdent cette propriété remarquable.

467. Dans un Mémoire qui fait partie du tome I" du Journal de Mathématiques pures et appliquées, Vincent a fait connaître une belle propriété des fractions continues, et il en a déduit, pour le calcul des racines réelles des équations, une méthode qui procède à la fois de celle de Lagrange et de celle de Newton ; nous croyons devoir établir ici la proposition sur laquelle repose cette méthode.

Théorème. — Etant donnée une équation f[x) = o qui rCa pas de racines égales, si Vonjait successivement

j?=:aH 9 Xj = Al -i > x^-=.a^-\ 1 •••?

a, ai, a^y ... étant une suite illimitée de nombres entiers positifs quelconques, après un certain nombre de transformations, il arrivera toujours que les tranformées successives n'auront que des permanences ou qu^ elles n'offriront qu'une seule variation*

Le second cas se présentera si Vune des racines de

3fi4 COURS D*ALGÈB11E SUPélllEUttE.

l' équation proposée est la limite de la fraction continue

le premier cas aura lieu, au contraire, si aucune des racines nest égale à cette limite.

Pour démontrer ce théorème, formons les réduites dt

la fraction continue (i), et désignons par ^-^ celle qui oc-

cupe le (n -hi)**°" rang; le quotient qui répond à la

P réduite — ^ étant x^ il est évident que Ton obtiendra di-

rectement la n**™" transformée en posant, dans Téquationy(x) = o,

fort (3)

Pn-^» + P»-l

Q»*i.-i-Q»-i formule d'où l'on tire

Soient a» 6, y, ... les racines de l'équation proposée, et an, Sn, 7/1, ... les racines de la transformée; cette transformée sera, en écrivant x au lieu de Xny

(•« — a») (•^ — ^/») (--^ — 7«) • • • = Oi

et chacune des racines a«, 6^, ... sera liée à la racine a, É, . . . correspondante par la relation (a) ou (3); on a donc

Si a est réelle et que les réduites -^ convergent vci-s

cette racine, il est évident que «;, sera une quantité po-

. P sîlive; mais si les réduites — ^ ont une limite difTérente

de a, quand n sera suffisamment grand, les diflerences P/i— 1 P/î

seront de même signe, et en conséquence la quantité an sera négative.

Si a est imaginaire, soit

on aura

et, en changeant yj — i en — \j — i ,

p,<,W-. =-%=iV' ;

en ajoutant entre elles les deux formules précédentes, on obtient

p^qy/-i p-\-qsl-l

V/i— il Vn-l , Vw-t

^Pn =

ou

pour les valeurs de n qui surpassent une certaine limite,

366 COURS d'algebrb supéribure.

la quantité 7(7^ — 7^ — ) sera inférieure à y*, et Ton

voit que pn sera négative.

Si donc n est suffisamment grand et que la fraction continue (i) ne représente pas le développement d'une racine de la proposée, la n**™® transformée n'aura que des racines de la forme — g^ ou — g±h ^ — i , g étant positif. Les facteurs du premier membre qui répondent aux racines réelles seront de la forme x -i- g et les facteurs réels du deuxième degré qui répondent à deux racines imaginaires conjuguées auront la forme

il est évident que le premier membre de notre transformée, qui est le produit de tous ces facteurs, n'aura que des permanences.

Il convient de remarquer que les racines réelles ou imaginaires des diverses transformées tendent de plus en plus vers Tégalité. Effectivement, si Ton divise la formule (4) par celle qu'on en déduit en changeant a et a» en S et Srt, on aura

on — ç

a» Q/i-i ^ Qjt

et comme ^^^—^ et ^ tendent vers la même b'mite, on voit que l'on a

liin^=i.

On arrive au même résultat en considérant la difTérence «fl — 6/1 qui a pour valeur

ainsi, en particulier, si la proposée et les transformées successives ont des racines imaginaires, la partie imaginaire de ces racines tendra vers zéro.

Supposons maintenant que la fraction continue (i) tende vers Tune des racines a de Téquation proposée. Alors la n**"* transformée aura une racine positive unique, ctnj si 71 est sufïisamment grand; il est d'ailleurs évident que tout ce que nous venons de dire précédemment s'ap-

pliquera à Téquation — ^ — = o. Par conséquent, dans

le cas qui nous occupe, les racines de la transformée de rang /i, autres que la racine positive 0.^, pourront être représentées par

g;- étant un nombre positif, et Ci, £2» • • • » Cm-i désignant des quantités réelles ou imaginaires dont les modules peuvent devenir plus petits que toute quantité donnée. Le produit des facteurs linéaires qui répondent à ces racines sera donc

(5) (x-h^)'»-»-+-{Eig'^'»-«-f-E,g'«:r'«-»+...+ E„.,^'«->),

E| , E2, . . . , Eto-i étant des coefficients réels qui peuvent devenir moindres que tout nombre donné. Posons

on aura

Go = i, G,„-j = i et

l'expression (5) se réduit alors à

(6) Go*"-*H-(Gt + E,)5'x'«-« + ...-t.(G^,-hE^.0^~\

et Ton pourra faire

Oa -+■ l^A- W- / -h I

^A+i étant un nombre réel qui peut devenir moindre que toute quantité donnée en prenant n suflGsamment grand. Désignons maintenant par (X — ^) g^^ racine positive de notre transformée; il est évident que cette transformée s'obtiendra en égalant à zéro le produit du polynôme (6) para: — (X — i)g; on a, à cause de Go = i,

Le premier terme de cette équation a le signe -h et le dernier terme a le signe — ^ d'ailleurs, les quantités ©i, «2, . • • ; £u Ea, . . . peuvent être supposées aussi petites que Ton voudra, et, si le coefficient de l'un des termes compris entre le premier et le dernier est nul ou négatif, il est évident que tous les coefficients qui suivent seront négatifs. L'équation [y) n'a donc qu'une seule variation, ce qui achève la démonstration du théorème énoncé.

Ainsi que l'a montré Vincent, le théorème précédent suffît pour opérer la séparation des racines, sans que l'on soit obligé d'en déterminer le nombre a priori, ou de leur assigner des limites, pourvu qu'afin de s'épargner des essais inutiles on fasse un usage convenable du théorème de Budan ; mais nous renverrons au Mémoire de l'auteur, pour le développement de cette méthode.

SECTION I. CHAPITRE Vil. 869

Du calcul des racines imaginaires,

168. La méthode qui a été exposée au n" 147 permet non-seulement de séparer les racines imaginaires d'une équation , mais encore de resserrer indéfiniment les limites qui comprennent, soit la partie réelle de chaque racine, soît la partie multipliée par l'imaginaire i ou >J — i .

Lorsqu'une racine imaginaire est ainsi connue avec une certaine approximation, on peut en obtenir des valeurs de plus en plus approchées au moyen de la méthode de Newton, qui n'est en aucune façon bornée au cas des racines réelles. Effectivement, si z^ est une première valeur approchée d'une racine six. «^le z de l'équation

et que Zfi-^-u soit la valeur exacte de cette racine, on pourra poser

/(*.) + «/'(».) + ^/'(*.) +. . . = o, d'où

et l'on aura, avec une approximation d'autant plus grande que le module de u sera plus petit,

/'(«o)' mais il sera nécessaire d'examiner, dans chaque cas, le degré d'exactitude que peut fournir la précédente formule, et cette discussion ne sera pas toujours exempte de difficultés.

Posons

et désignons par Xo -h ij^o la valeur approchée -?o de la-

370 COURS d'àLGEBRE SUPÊBIEURB.

quelle on part : le problème dont nous nous occupons a pour objet de calculer Tune <Jes solutions réelles (x, r; des équations simultanées

connaissant des valeurs approchées Xq etj^o de a: et ^; or je dis que la même méthode peut être appliquée aux équations (2), quels que soient les polynômes ç»(j:, ) ) ei^{xyy). Désignons en effet par

« = «o + Ç, r=ro-t-'ï les valeurs de j: et dej^ qu'on se propose de calculer : on aura, en employant ici la notation dont nous avons déjà fait usage au n? 89,

Si donc ^eir, sont des quantités assez petites pour qu'on puisse négliger leurs carrés et leur produit, on aura approximativement

d'où

4>(-yoiro)Dxf(^oiro) — ?(-»^oiro)Da-4> (^0^ ?j) .

il est évident que ces formules ne pourront être d'aucun usage, si la solution que l'on considère est une solution multiple des équations (a).

1C9. La méthode que nous venons d'indiquer exige des calculs très-laborieux et, au lieu de l'employer, il sera souvent plus simple de recourir à l'élimination, comme on va le voir dans l'exemple suivant. Proposons-

SEGTIOn I. CHAPITRE VII. Sjl

nous de calculer les racines de Téquàtion

qui toutes les quatre sont imaginaires. Si Ton pose z-=zx-^yyj — I , cette équation se décomposera dans les deux suivantes :

(2) (j«-ar«)«-4x«(7«-ar«)-(4;ir* + x-i) = o,

et en supprimant de Téquation (3) le facteur ^^ on aura

portant ensuite cette valeur de y^ — x^ dans l'équation (2)^ il viendra

enfin, si Ton pose

cette dernière équation deviendra

Les substitutions donnent les résultats suivants

-hi6

a, II a|ia

. H- o,o48ia8

372 COURS d'algèbre STJP. SECT. I. CHAP. VII.

d'où il suit que la seule racine posidxe t est comprise entre 2,11 et 2,12. Une première application de la méthode de Newton donne les nouvelles limites 2,1149 ^^ 2^1 i5o; une deuxième application fournit la valeur 2,11490754 avec huit décimales exactes. La formule (5) donne ensuite, avec le même degré d'approximation,

enfin la formule (4) donne les valeurs

jr=zzh 0,43001425,

on a ainsi, pour les racines demandées,

a= H- 0,72713603. . .di 0,43001425. . V— ï» zz= — 0,72713603. . .±0,93409929. ..y/— I,