Exemple. — Considérons l'équation x
que nous avons déjà plusieurs fois prise pour exemple. On a
L'équation proposée a deux racines comprises enti-e i
et 2 ; nous poserons
et nous aurons la transformée
celle-ci a une racine comprise entre i et a et une autre entre a et 3; nous considérerons d'abord cette dernière racine et nous ferons
SECTION I. CHAPITRE TH. 35g
on a
i/';{xi)=3x,— 4,
en remplaçant Xi par a dans ces formules, on aura les coefficients de la transformée en\ra; celle-ci est
arj 4- jrj — 2 jtj — 1=0.
La racine positive x^ est comprise entre i et a ; on fera donc
on a
/,(.r,)=.rî-|-.r5— 2X, — I, ■ /',(^,) = 3.rî-f-2.r, — a,
et la transformée en Xs sera
xl — 3x1 — 4^:3 — 1=0.
La racine positive est comprise entre 4 et 5 ; on fera donc
on a
/,(jr,) = .r»— 3jrJ — 4x, — I, /;(x,) = 3xJ-6.r,-4,
36o conns d'a.lg£btie supéiiieuiie»
d^où résulte la transformée en X4
arj — 20j:J — gxj — i=0.
Maintenant l'opération est plus avancée qu'il n'est nécessaire pour pouvoir appliquer le procédé abrégé de Lagrange et déterminer les quotients sans tâtonnement. Formons d'abord les réduites qui répondent aux quotients que nous avons obtenus
La formule (2) du n® 165 donne, en l'appliquant ici au cas de /2 = 4»
la quantité A diffère peu de M ou de - -.//',? et il est
aisé de s'assurer que M est inférieur à 3. La somme des
3 20 deux fractions — | fournit le cinquième quotient ao;
en outre, on a
et si Ton prend pour x^ la valeur
on obtiendra une valeur de a:, savoir :
SECTION I. GHAPITIIE VII- *5ttl
dont l'erreur sera environ — : — r- = 0,0000002, et, par
conséquent, si Ton réduit cette fraction en décimales, on
obtiendra un résultat dans lequel les six premiers chilTres
décimaux seront exacts ; on trouve
et les six pi;emières décimales sont effectivement celles que nous avons obtenues au n^ 161 .
Si l'on veut poursuivre le développement en fraction
continue, on fera
00/ etl'on formera la réduite -TT^î» qui répond au quotient x^ ;
puis y des équations
on conclura la transformée en 0:5, savoir : l9ia:\ — 391JÎJ — 4^^s — 1 = 0; la Ibrmule (2) du n** 163 donnera ensuite
d'où il résulte que le sixième quotient est égal à 2 ; eu
36a COURS d'algèbhe supérieure.
outre, on a
2b3ar,H-i4'
et, si Ton prend pour x^ la valeur
2b3 "*" 787 *" "ôT^is"'
on aura une valeur approchée de x dont l'erreur sera inférieure à
Si Ton applique la même méthode au calcul des deux autres racines de Féquation proposée, on obtiendra les résultats suivants :
Jf'*— 7a:'-+-7 = 0,
a^l— 2arj' — .1/, 4-1 = 0,
x'^ — lOx^^ — 90:^ — 1 = 0,
ar" — 7jr''-4-7=0, xf— 20 jr*' — gorj — I = o,
On voit que les trois racines x, j/, a:^ conduisent à une même transformée, et, en conséquence, les fractions continues qui expriment ces racines se terminent par
les mêmes quotients ; on a
