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Maintenant, si les séries (6) et (7) restent convergentes quand on réduit chacun de leurs termes à son module, la série nouvelle que nous venons de former sera aussi convergente, par un théorème connu, et elle aura pour somme le produit des sommes des deux premières séries. D'ailleurs elle se déduit de la série (6) ou (7), comme on vient
(*) La réduction dont il s'agit ici résulte de la formule qui sert à exprimer la différentielle d'un ordre quelconque du produit de deui foncUons. Si II et i' désignent deux fonctions d'une variable indépendante x, on a
mais, t étant une fonction quelconque de x, on peut écrire aussi
d^{uv)=ud^v-^l^{tdu)d^~^''--\-„.
^d^-\t^du).^^.
Cette formule se vérifie immédiatement quand /ui = i ; pour établir sa généralité, il suffit donc de montrer que, si elle a lieu pour les valears I , a, . . ., "t de /A, elle subsiste pour /a = m h- i . Dans cette hypothèse, si l'on fait [i = m — I et qu'on écrive t au lieu de k, -^ au lieu de 9, on aura
./-.- =frf-.-i — H- — (frfr) <'—'-* ^
^d-'i''{t'-idt).~ Cela posé, si l'on difTérentie la formule (a ), a]irès y avoir fait /k = m, on
de le voir en remplaçant dans celle-ci ¥ (u) ou TI{u) par le produit n(u) Y(u); donc on a
et si l'on pose
on déduira de la formule précédente
Posons
^(u)=-\j *(«):= -i-, d'où îiii.!=«'»,
n et n — m étant des entiers positifs ^ on aura^ par la formule (5),
et de même
trouTera, en faisant usage de la formule (5), que le coefficient de €?^i+» —
80 compose des deux parties suivantes :
Dans la seconde partie i le facteur entre crochets a pour valeur d^-^{t^du\ car ce facteur n'est autre chose que le second membre de la formule (a) quand on remplace ft par k — i, u par r et c par t^-^du. La somme des deux parties dont nous venons de parler est donc
(w-n)w(w-i)...(w — AH-a) j^, ^^^^ ^ d'où l'on conclut que la formule (a) subsiste pour ^ = m-f-i»
444 C013RS d'algèbre supérieure.
la fonnule (9) deviendra alors
Supposons que le module de la racine a soit inférieur au module de chacune des autres racines, et faisons tendre /ivers l'infini, m restant constant; les rapports
( 7 ) ' ( 1 ) ' " • • tendrontvers zéro, et si les quantités Cj,,
C/i-m s'évanouissent aussi pour 71 = 00, on aura
c est-à-dire
enfin, si l'on désigne par F(u) une fonction de u, telle que
F(tt)=aott'"-t-a4tt'«-»-h. ..,
on déduira immédiatement de l'équation ( i o) la formule due à Lagrange, savoir :
|FK=rM+F.H/w.^''tMZWl-^...
' I . 2 ... A rftt*-* -T- . . ^ .
Si l'on prend F{u)=u, la formule (11) donnera le développemen t en série de celle des racines qui a le plus petit module.
Le résultat qui précède montre que, si Ton cesse de rejeter les termes qui ne contiennent pas u en dénominateur, dans la formule (4), il faudra réduire le premier membre à celui de ses termes qui se rapporte à la racine de module minimum.
L'analyse que nous venons de développer est extrêmement élégante, mais on aperçoit aussi combien elle est défectueuse ; elle indique effectivement que certaines conditions sont nécessaires pour l'exactitude de la formule obtenue, mais elle ne donne aucun critérium pour reconnaître les cas dans lesquels ces conditions sont remplies : nous reviendrons sur ce sujet à la fin de ce Chapitre.
Expression de la somme des puissances semblables des racines d'une équation, en fonction des coefficients.
196. Nous allons appliquer la théorie que nous venons d'exposer à la détermination de la somme des puissances semblables des racines d'une équation en fonction des coefficients. Soit
l'équation proposée. Nous désignerons par a, b, c, ,,,, l ses racines, et nous poserons
/„ = a'*-h b'^-hc'^-h. . .4-/'*.
Si l'on change x en -y l'équation (i) devient
Pt \Fi Pi Pi J
ou
B— ar-f-/(x) =0,
en mettante au lieu de 9 dans le premier terme, et
en faisant
Les racines de l'équation (a) sont les inverses de celles de l'équation (i); on aura donc, d'après la formule (3) du n» 194,
