Une série
ordonnée par rapport aux puissances entières et croissantes de la variable x, est dite récurrente, lorsque, pour toutes les valeurs de n supérieures à une certaine limite, le cocflicient de x" peut s'exprimer, quel que soit n, par une même fonction linéaire des coefficients des puissances inférieures pris en nombre fixe. En d'autres termes, la série que nous considérons sera récurrente, si, pour toutes les valeurs de n qui surpassent une certaine limite, on a identiquement
m étant un entier quelconque, et «©> «u • • • » «m des quantités constantes. La suite de ces quantités
Uq, aj, . . . , a
est ce qu'on nomme Véchelle de relation de la série récurrente.
Cela posé, nous établirons à Tégard de ces séries les deux propositions suivantes :
Théorème I. — Lorsqu une série ordonnée suix^ant les puissances croissantes de la variable x est à la fois convergente et récurrente, elle a pour somme uneJraC" tion rationnelle.
En eflet, soient cp (x) la somme de la série proposée
(l) «0 -1 ■ e/j X H- ûj-r* 1- . . . H- a^ -c" -:-...
et
son échelle de relation, en sorte que l'on ait
pour toutes les valeurs de n supérieures à une certaine limite.
Posons
et multiplions la série (i) parle polynômey( x). Chaque terme de ce multiplicateur donnera pour produit une série convergente, et la somme des m -f- 1 séries qui répondent ainsi aux m 4- i termes def[x) sera évidemment une série convergente qui aura pour somme le produit o[x) f{x). Or, en ordonnant cette dernière série suivant les puissances de x, on trouve que le coefficient de x" est précisément le premier membre de ridenlilé (2); et, comme ce premier membre est nul,
SECTION II. — CHAPITRE III. 5a3
pour les valeurs de n qui surpassent une cerlaîne limite, la série que nous considérons se réduit à un polynôme F{x) composé d'un nombre fini de termes; on a donc
ç(x)/(.r).---rF(x).
d'où
Ff.rl
ce qui démontre le théorème énoncé.
Théorème II. — Réciproquement , toutes tes fois qu une fraction rationnelle peut se déi^elopper en une série con^^ergente ordonnée sui\fant les puissances croissantes de la variable, cette série est récurrente.
En effet, supposons que la fraction rationnelle -—;
soit développable en une série convergente et que Ton ait
( I ; = «0 -'- «1 -^ "t- ûj ^' -r- . . -:- a„ x" -f- . . . ,
pour certaines valeurs de la variable x. Soit aussi
Le produit de la série (i) par le polynôme (2) est une série convergente qui a pour somme le produit
donc, pour toutes les valeurs de n qui surpassent une certaine limite, le coefficient de .r" dans le produit dont il s'agit doit se réduire à zéro. Or ce coefficient a pour valeur
donc on a
524 couns d'algèbre supékieuhe.
pour toutes les valeurs de /i, à partir d'une certaine limite; cette condition exprime que la série proposée est récurrente.
234. On peut obtenir de la manière suivante le développement d'une fraction rationnelle en série ordonnée par rapport aux puissances croissantes de la variable.
Décomposons la fraction rationnelle donnée — ■— ' en
fractions simples, et supposons que Ton ait trouvé
Pour résoudre la question que nous avons en vue, il suffît de développer en série, par la formule du binôme,
chacune des fractions simples- -ou A(x — à)"^.
On a ainsi
la 1.2 «*
et, si Pu désigne le coeffîcient de a:" dans E (x), le terme
général du développement de t., - en série sera
Dans le cas particulier où les racines «, ... def(x) --. o
sont toutes simples, on a a = i et A = ■„ : le terme
SECTION II. CniLPITIlE HT. 5^5
général se réduit à
Ainsi la série récurrente dans laquelle se développe la
Ff.r)
fraction —-■- peut s'obtenir par Taddilion de plusieurs
séries provenant des développements de diverses puissances négatives et entières des binômes a — X, b — Xy
D'ailleurs ces séries sont convergentes pour toutes les valeurs de Xy dont le module est inférieur au plus petit des modules des quantités a, è, ...; on peut donc énoncer la proposition suivante, qui est un cas particulier d'un théorème de Cauchy relatif au développement des fonctions :
Théorème. — Une série provenant du déi^eloppe-
nient d'une fonction rationnelle „'- r- est convers^entc
pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de x don* le module est inférieur au plus petit module des racines de l'équation f[x) ^= o.
Exemple. — Proposons-nous de former la série récurrente dans laquelle se développe la fonction
P ^ Or
o .ri .z: - - - - -5
* ^ ' I — 2.r cosw -h .'•'
où P, Q et tu désignent des constantes données.
Décomposant cette fraction en fractions simples et employant, comme nous l'avons déjà fait précédemment, la notation usuelle des exponentielles imaginaires, savoir,
?-"*v^ïu-
COSw Z y — I Slllw,
on a
520* couns d'alcèbue sup^.rteure.
A et B (5tant des constantes qui ont respectivement pour valeurs
?. sinuy^ — I 2sin»^— I
Développant en série chacune des parties de 9(x), on trouve
<p (.r ) — aV .r« c'»-/^»'— B V x«tf-«-V^'*,
ou, en remplaçant A et B par leurs valeurs
2 siuw ^ — I
En remettant à la place des exponentielles imaginaires leurs valeurs, on a, toutes réductions iaites,
P-h Q.r \^Psin(/i4-i)«--hQsiii/n»
I — 2:rc()Sw -h or* ^ sinu
Le terme général du développement est donc
^sinfw-T-ilw ^ sin/îw P — . '.- Q - .
