H-Ç IH-Ç

en donnant à a et à a ces valeurs, dans la formule (2), l'expression de x -h ly sera algébrique.

Détermination d'une fonction rationnelle par le moyen des valeurs t/ui repondent à des valeurs données de la variole le,

230. Une fonction entière du degré m de la variable x est entièrement déterminée lorsque Ton connaît les valeurs de cotte fonction qui répondent à m -f- i valeurs données de x. Quand les valeurs de x dont il s'agit forment une progression arithmétique, la fonction peut être obtenue par la méthode que nous avons exposée au n® 156 ; mais il est important d'avoir une formule qui embrasse tous les cas. Cette formule est précisément, comme on va le voir, celle qui a été établie au n" 217, et qui exprime la valeur d'une fraction rationnelle décomposée en fractions simples.

Soient

les valeurs d'une fonction entière F{x) du degré m, correspondant aux valeurs données

"^0^ •'"l» '^îj • • • » ^m

de la variable x; posons

/{.ri -- (.r — o-o) î-»^ — ^1) (j: — Jr,) . . . (or — :r„),

5i^> COURS d'algèbee supérieurs.

on aura

X — Xq X — X^ X *'*/it

cl, par conséquent,

f'[x^ -.:- [x^ — x^) [x^ — Xj) . . . [x^ — .r,„).

Cela posé, le degré de /'(x) surpassant d'une unité celui de F(x), on a (n° 217)

FH ^ Ff^^ol i ^ F^r^l i ^ ^__ Ff^ i

Cl, en chassant le dénominateury(x), il viendra

( •'^o ^1 ) v-^o — «^1 ) • • • («^0 — ^m ] [x — .ro ) [x — .r, 1 . . .{x — .r„, \

[x— X^\{x - Xy\ . . Ax — X,,.. J

Cette formule donne la solution de la question proposée : d'ailleurs celle-ci ne peut admettre une autre solution; car, s'il existait une fonction F|(j:) du degré m, différente de F(j:) et satisfaisant aux conditions du problème, l'équation

qui est au plus du degré m, admettrait les y//-;- i racines Xo, Xi, . . . , x,n, ce qui est impossible.

On peut encore résoudre la môme question en raisonnant comme il suit : si les valeurs données Mo, U| , . . . , Ui» sont toutes nulles à l'exception de l'une d'elles ?/^, et que celle-ci soit égale à l'unité, il est évident que la fonction demandée est déterminée et a pour valeur

-j. (x — Xft) . . . ( x — jr^, ) {x — x^^y ) . . .(x — x... )

SECTION H. CHAPITRE Ilï. SlJ

Cela étant, on aperçoit de suite que, dans le cas général, la solution du problème proposé est donnée par la lornuile

F{x) r—. Uq Xo -'- W| X, -r- , M- "/nX,„.

231. Il est souvent plus avantageux de donner à Texpression de la fonction demandée F(j:) la forme à lai|ucllc nous avons été conduit au n° 156, dans le cas particulier où les valeurs données de la fonction répondent à des valeurs équidistantes de la variable. On y parvient facilement par la méthode des coefficients indéterminés; car, si Ton pose

t\.r] : Ao -^- A, [a: — Xo)-f- A, (^ — -^^o) (-^c— -^i) -r- A3 [j: — .ro) [x — .rj ) (.r — ar,) -I- . , , -!- A,„(.r — .To).. {x-'X^i),

les constantes Ao, A|, ..., A„t pourront être déterminées successivement au moyen des équations de condition

"o ~^ Ao,

tf, ■-' Ao-Î- Ai(.ri — J-o),

fi^ ----: Ao-:- Ai(x, — aro)-;- A,(jr, — Xo) (jTj— Xj),

w,„r-:Ao-?- A,(.r^ — .ro) -î- • . . f- A;„(.r^ — .ro)...(j'„,— .#•)„ J.

Lorsque les valeurs données

forment une progression arithmétique dont la raison est /i, on tire immédiatement des équations précédentes

Aq. -Uq, A,,= -- —3

et Ton retrouve la formule du n® 1S6.

5l8 COURS D^ÀLGÈBUE SUPÉniEURE.

232. La formule du n° 230 n'est qu'un cas particulier d'une autre formule plus générale, que Cauchy a fait connaître dans la Note V de son Analyse algébrique, qui donne la solution du problème suivant :

Problème. — Trouver une fonction rationnelle u de la variable x, dont le numérateur et le dénominateur soient (tes Jonctions entières des degrés m et n respectivement, connaissant les m -i- /i -i- i valeurs de u qui répondent à m -t- n -n- I valeurs données de x.

Il est évident que ce problème ne peut admettre qu'une seule solution; car, si deux fonctions distinctes

remplissaient Tune et l'autre toutes les conditions de l'énoncé, il est évident que l'équation

qui est au plus du degré m -h n, admettrait pour racines les 7/^ -h- n -h i valeurs données de x, ce qui est impossible.

Cela posé, soient

^0^ ^li ^ii • • «1 ^hn-hn

les valeurs de u qui répondent aux valeurs données dex,

Supposons d'abord que m de ces m -'.- n v;ileurs de n soient nulles; que Ton ait, par exemple,

il est évident que le numérateur de la fonction cherchée sera

n[X Xf^^^ J J.r — X„^2 } • • '[^ -^n+m )«

SECTlOn II. — CHAPITRE III. 5ig

A étant une constante arbitraire; par suite, le dénominateur sera égal à

et si Ton donne k x les valeurs successives ;ro) X|, ... x„y il prendra les valeurs correspondantes :

on peut donc obtenir Texpression du dénominateur de u par la formule du n" 230, et Ton trouve ainsi

A. . , f.r — jTo) f j: — X,]. . . { Jr — .r„ï)

Alors, en donnant à la constante arbitraire A la valeui

A- //y//, //j. "Un f- . f - ^

\^i» •'^/i+ij • • • l*» '/n-wj

520 COUHS D*ALGÈBRE SUPÉRIEUHB.

le numérateur de la fonction u sera

et cette même fonction aura pour dénominateur le tenne

augmenté des n termes qu'on en déduit en faisant toutes les permutations des indices o, i, 2, . . ., /i.

L'analyse du cas particulier que nous venons d'examiner nous conduit immédiatement à la solution du cas général.

Supposons encclivcment que les quantités lio, «i, ..*, Un^m soient quelconques ; faisons dans chacune des expressions (1} et (2) toutes les permutations possibles des m-{-n H- I indices

et ajoutons, dans chaque cas, tous les résultats obtenus. La prcniicre somme sera le numérateur de la fonction demandée, et la seconde somme sera son dénominateur; on aura ainsi

{^y — ^){-'^^-Z:^'''z^^-^'n-i—-fil ^

Rien n'est plus facile que de vériHer ce résultat; faisons en effet x =^ Xn, le numérateur de la formule précédente se réduira au produit de Un par la somme

«1-1 ' • • • i'^0 " "'il -m H • • • l' -^«-1 -^n+i ) • • • l'^ii-1 •'"ii+m )]

où les termes qui suivent le premier se déduisent de cc^

SECTION H. — CHAPITRE lïl. 521

lui-ci en faisant toutes les permutations des m-\-n indices

Or c'est à cette somme que se réduit aussi le dénominateur de u pour x^^-Xn] donc la formule (3) donne u= Un pour X =~ Xffi et, comme tout est symétrique par rapport aux indices, on a u -- u^ pour x--: x^, quel que soit rindice fn.

La formule (3) subsiste dans le cas de n -rrr o, pourvu qu'on réduise son dénominateur à l'unité; elle coïncide alors avec la formule du n° 230; elle subsiste également dans le cas de m r^ o, pourvu que l'on remplace le numérateur par uq izj . . . ii„.

Dans le cas de w= /i := i, la formule (3) donne

U, — X,) I x, — ^, ) ^ Nx, — .r , ) ; .r, — jl-, ) ' '(J-, — Jr^) (.r, — xj

Xm — JC X. ~^ X J', —— %L

«.; ---- -htt, ' r-W.- - '- - - ^

Des séries récurrentes»