V = SP
On a ainsi cette proposition :
Théohème. — Toute fonction rationnelle et alternée de m quantités est égale au produit d ^une fonction
symétrique et des — différences obtenues en
combinant deux à deux les m quantités données.
Si la fonction alternée V est entière, la fonction symé-
S., Alg, Slip, — 1 34
53o COURS d'algebue supérieure.
trique S sera aussi entière. En eflFet, V se changeant en — V par la transposition des lettres a et i, il est évident que Ton a V = o, quand on pose i = a, et, en conséquence, le polynôme V est divisible par la différence b — a ou a — b. D'ailleurs a et è désignent deux quelconques des quantités données, et il en résulte que V est divisible par P.
237. D'après ce qui précède, l'étude des fonctions alternées est ramenée à celle de la fonction P.
Si Ton effectue le produit des différences (a) et qu'on opère la réduction de termes semblables, on aura la valeur de P sous la forme d'un polynôme homogène du
degré — ■ par rapport aux quantités a, d, ....
L'inspection du tableau des différences ( a ) montre que, dans la partie de P multipliée par /**"*, le coeflfîcient de /^"* s'obtient en rejetant la dernière ligne du tableau (2) et en faisant le produit des différences restantes; pareillement, dans la partie de ce coefficient qui est multipliée par À '""2^ le coefficient de /r'"""* s'obtient en rejetant les deux dernières lignes du tableau (2) et en multipliant les autres différences; en continuant ainsi, on reconnaît que la fonction P renferme le terme
avec le coefficient -h i . Nous donnerons à ce terme le nom de terme principal.
Cela posé, je dis que l'on a
P — y ± aH^c^iP, . ./"'-«/'"-».
Dans cette formule, le si£:ne > embrasse les i.a...m
;, le signe N
termes qu'on peut former, par les substitutions, au moyen du terme principal. Celui-ci a le signe -f-, et chacun des termes qui suivent a le signe -f- ou le signe — suivant qu'il se déduit du terme principal par un nombre pair ou par un nombre impair de transpositions. Pour justifier notre assertion, soit
un terme quelconque du second membre de la formule précédente, les exposants a, S, y, ..., X étant les nombres G, I, 2, ..., (m — i) pris dans un certain ordre. La même fonction renfermera aussi le terme
qui se déduit du précédent par la transposition des lettres a et £ ; ces deux termes ont d'ailleurs des signes contraires, car les substitutions au moyen desquelles on les déduit du terme principal équivalent l'une à un nombre pair, l'autre à un nombre impair de transpositions; enfin la somme des deux mêmes termes est divisibie par è — a. Il résulte de là que la fonction considérée est divisible par le produit des différences (a), c'cslà-dire divisible par la fonction P; en outre elle est du même degré que celle-ci et elle a avec celte fonction un terme commun : donc elle lui est égale.
On doit remarquer qu'au lieu d'exécuter les substitutions sur les lettres
on peut, si on le juge à propos, les faire porter sur les
exposants
bu
bt.
532 COURS D*ALGÈBIIE SUPÉRIEURE.
Des déterminants, 238. Considérons les m^ quantités
^0» • • • » ^'o> ^Ot
, Ij \ «J, èj, Cj, • • «T ^1* 'it
qui forment m lignes horizontales comprenant chacune m termes, ou m colonnes verticales également composée, de m termes, et reprenons la fonction alternée
des m quantités
Su])posons que dans chacun des termes de P on remplace tous les exposants par des indices de même valeur, et désignons parD le résultat qu'on obtient ainsi; on aura
(2) D^-\ zhr/o^'irî. . .f^m-%lm-ï'
La règle que nous avons donnée pour former les diilérents termes de P s'applique aussi à la fonction D; ainsi dans cette fonction chaque terme a le signe -f- ou le signe — , suivant qu'il faut un nombre pair ou un nombre impair de transpositions pour le former au moyen du terme principal
-f- fly f^l Cj . . . A,^;2 l,n — l'
La quantité D est une fonction des m* quantités (i) : elle est dite le déterminant de ces quantités et l'on écrit
habituellement
Les substitutions nécessaires pour former les termes de D au moyen du ternie principal peuvent porter indifféremment, soit sur les lettres a, b, .,., l, soit sur les indices o, I , . . , , (m — I ) , d'où Ton peut conclure cette proposition :
Un déterminant ne change pas de valeur lorsqu'on remplace les colonnes verticales par les lignes horizontales, de manière que le terme principal reste le même.
Le déterminant D est une fonction linéaire et homogène des m quantités
et si Ton pose
(4) D = Aorto + Airt, -t- Ajrt, H-.. .H-A^,a,„,,
la formule ( 2 ) montre que Ao n'est autre chose que le déterminant
Ao — X -^ ^i^î* • '^/n— î'm— 1»
ou
• • • fr]
dans lequel le terme principal est h^ c^,..lm^\» Si, dans la partie Ao^o du déterminant D, on transpose les indices o et I, on obtiendra les termes en a^ changés de signe^
mais les signes seront rétablis si Ton fait ensuite la transposition des indices o et m — i ; on a donc
At =
It
Cm-t
Im-i
lo
et, en continuant ainsi, on voit facilement qu'on obtiendra, quel que soit /i,
Il résulte de là que, sachant former le déterminant relatif à [m — 1)2 quantités, on saura former également le déterminant qui se rapporte à m^ quantités.
Comme la fonction P change de signe quand on transpose deux des lettres a, b, ..., ou deux des exposants o, I, 2, ..., il est évident que le second membre de la formule (2) changera également de signe si Ton transpose soit deux lettres, soit deux indices; on a par conséquent cette proposition ;
Un déterminant change de signe en conservant la même valeur absolue quand on échange entre elles soit deux lignes horizontales, soit deux colonnes verticales.
Et il en résulte cette conséquence :
Un déterminant s* évanouit lorsque deux lignes horizontales ou deux colonnes verticales sont composées des
némes termes, ou lorsque les termes de l'une sont proportionnels aux termes de l'autre»
Ainsi la formule (4) donnera
( o = Ao^o -^ Aj 61 4- . . . 4- A;„i ^m-i>
o = Ao./o -I- Aj /| 4- . . . 4- A;„__i /,„t«
239. Remarquons encore que les fonctions P et D deviendront identiques si Ton a, quel que soit fi,
a^ = a»*, ô^ =1 b'\ . . . , l^z= /!*, d'où il résulte que la fonction
est égale à Tun ou à l'autre des déterminants
Dr
D'ailleurs, si l'on pose
on a
536 coiJRS d'algèbre supérieure.
et Ton conclut de là
240. Résolution de m équations du premier degré A m INCONNUES. — Les formules du n° 238 donnent immédiatement la résolution d'un système d'équations du premier degré entre un pareil nombre d'inconnues. Car soient les m équations
û, X -h bijr -4- Cj z H- . . . -h /j 1/ = j|.
entre les m inconnues x, j^, z, ..., u. Conservons les notations du n^ 238, et ajoutons les équations proposées, après les avoir multipliées respectivement par les facteurs
Âq) Al, Aj, •••9 ^m—l'^
on aura, par les formules (4) et (6) du n® 238,
Dx == Ao ^0 -^ Al i-i -f- . . . -f-A;„-i ^»,— 1, ou
D.rirrX,
en désignant par X ce quedevientle déterminant D quand on remplace la lettre a par Sy en conservant Tindice. Si donc on représente par
les valeurs que prend D, quand on remplace par la lettre s chacune des lettres
<7, h, Cj . . . , /,
successivement, les valeurs des inconnues seront repré-
sentées par les expressions suivantes :
dans lesquelles le dénominateur commun est précisément égal au déterminant D.
24-1. Il n'entre pas dans nos vues de présenter une étude complète des déterminants, et, pour ce qui regarde les détails de celte théorie, nous renverrons le lecteur au Mémoire de Jacobi publié dans le lomc XXII du Journal de Crelle, Mémoire dans lequel Tillustre géomètre a présenté une exposition d'ensemble qui ne laisse rien à désirer. Nous nous bornerons ici à établir les propositions qui sont indispensables pour Tobjct que nous nous proposons.
Il convient, dans ce qui va suivre, de faire une légère modification aux notations dont nous avons fait usage jusqu'à présent. Au lieu d'introduire plusieurs lettres affectées d'un indice, pour représenter les quantités données, je n'emploierai désormais qu'une seule lettre affectée de deux indices.
D'après cela, un système de ni^ quantités données sera représenté par
Texpression générale de ces quantités sera ainsi chacun des indices i et y pouvant prendre les m valeurs
538 COURS d'àlgèbhb supériedrv.
et le détermiDant sera
quant au terme principal, il sera toujours
et tous les autres s'en déduiront en conservant la série des premiers indices dans l'ordre naturel, et en exécutant sur la série des seconds indices toutes les substitutions possibles. Chacun de ces termes sera d'ailleurs pris avec le signe -f- ou avec le signe — , suivant que la substitution qui l'a fourni équivaut à un nombre pair ou à un nombre impair de transpositions.
Il est évident qu'au lieu de faire porter les substitutions sur les seconds indices, on peut, si on le juge à propos, les exécuter sur les premiers indices.
