On doit remarquer que, si l'on a

pour toutes les valeurs de i inférieures à y, le déterminant (2) se réduit à son terme principal. En effet, quelles que soient les quantités (i), on a (n** 238)

dans notre hypothèse, les déterminants partiels de cette expression s'évanouissent tous, à l'exception du premier, car chacun des termes dont ils sont formes renferme un facteur égal à zéro. On a donc

SEGTIOIf II. CHAPITRE IV. Sig

par le même raisonnement, on trouvera

— ^m- li/n— 1 ^m,m — ^hn—\,in-\ ^hit,m^

et Ton a, par conséquent,

243. Soient D le déterminant de m^ quantités a/j et D'ce qu'il devient quand on donne à chaque élément a/^y l'accroisscment a/j; il est facile de trouver Texpression de ly ordonnée par rapport aux accroissements a.

Le déterminant D étant une fonction linéaire et homogène des quantités

si Ton donne à ces quantités les accroissements respectifs

D deviendra

D -f- Di,

en désignant par D| ce que devient D quand on y remplace les quantités (i) par les quantités (2).

Si, dans cette dernière expression, on donne aux quantités

les accroissements

et que Ton désigne par D2 et D|,2 ce que deviennent D et D| par la substitution des quantités (4) !^ux quantités (3), on obtiendra pour résultat

D-h(Di-hD,)-hDi,,;

54o COURS d'algèbre supérieurs.

en poursuivant cette série de substitutions, on parviendra à l'expression de D' qui sera évidemment

D— D : Sj -f-Sj-i-.. -hS;„;

dans cette formule S^ désigne généralement la somme

(les — ^ déterminants que 1 on ob-

tient, quand on remplace la lettre a par a. dans (x lignes horizontales du déterminant D.

Nous pouvons tirer de ce résultat une conséquence qui nous sera utile. Si les quantités a/j sont telles que

soient proportionnelles à

pour toutes les valeurs des indices /x et v, chacun des déterminants contenus dans les sommes Sa, S3, ..., S^ s'évanouira; car, dans chacun d'eux, deux lignes horizontales seront formées de quantités proportionnelles. La formule précédente se réduira donc à

OU à

D' — D 4- Di -t- Dj -4- . . . -{- D;„,

D|, D2, .... ^m étant les valeurs que prend D quand on remplace a par a dans chacune des lignes horizontales successivement.

244. Nous compléterons ces notions sur les déterminants en démontrant un théorème qu'on doit regarder comme fondamental et auquel Binet et Cauchy sont parvenus l'un et l'autre, en généralisant des résultats obtenus précédemment par Lagrange et par Gauss.

Théorème. — Etant donnés deux systèmes de mn quantités, sa\^oir :

posons

et formons le déterminant de m!^ quantités, sav^oir :

'nttm

Si m est supérieur an, on aura

Si m est égal à n, et que Von désigne par A et B les déterminants formés av^ec les quantités [a) et (b) respectiifement, on aura