Cas de deux équations. — Soient deux équations

6oo COURS d'algèbre supérieurc.

entre les deux inconnues x et j-, et

les syslèrncs de solutions communes à ces deux équations. On nomme Jonction symétrique de ces solutions communes toute fonction qui ne change pas de valeur quand on y permute les groupes (^'i^'i)j {j^2j'i]j •••• les ims dans les autres; nous considérerons seulemenl les fonctions symétriques rationnelles. Une fonction do celle espèce est toujours exprimable rationnellement par les coefncients des équations proposées.

Par un raisonnement tout semblable à celui que nous avons fait au sujet des fonctions symétriques des racines d'une équation à une inconnue, on fera voir que la détermination d'une fonction rationnelle et symétrique des solutions {^tji), (^aJKajj •••se ramène à celle de fonctions symétriques entières, homogènes, et dont les différents termes se déduisent les uns des autres, en changeant les indices des leltres x et y, mais sans changer leurs exposants. Les fonctions symétriques auxquelles on est ainsi ramené seront dites simples ou du premier ordre, doubles ou du deuxième ordre, etc., suivant que chacun de leurs termes contiendra les lettres d'un, de deux, etc., groupes (^iji), {'^^2^2)1 •••• ^^ forme £;éuéralc des fonctions simples sera

p ou </ pouvant cire nul. Nous représenterons une pareille ionclion par \ .r['j'[« La forme des fonctions doubles sera

SECTION II. CHAPITRE V. 6oi

nous la représenterons par y -^i^i^^ J't * ^^ ainsi de suite.

Voici la méthode donnée par Poisson pour calculer la

fonction simple 7 -^f^'f •

Désignons par t une nouvelle variable, par a une indéterminée, et posons

tr=:x -h (XX, d'où X ^=: t — aj;

en substituant cette valeur de a: dans les équations proposées, celles-ci deviennent

f[t — ar,r ) = 0» F ( ^ — 7.y,r) = o,

et, en éliminant j, on a une équation finale en f,

qui contient dans ses différents termes Tindéterminéc a. Cette équation en « a pour racines

et elle est, par conséquent, du degré /î. D'ailleurs, la somme des puissances semblables de degré jutdes racines de Téquation en t peut s'exprimer rationnellement (n** 171) par les coefficients de celte équation, c'està-dire en fonction de a et des coefficients des équations proposées. On aura donc

r= Ao -f- A,a-f- Aj 3c* -h ..,

formule. OÙ Aq, A|, ... désignent des quantités connues et exprimées rationnellement par les coefficients des équations proposées. Cette équation ayant lieu quel que soit a, les coefficients des mêmes puissances de a

6oa COURS d'algèbre supérieure.

doivent être égaux dans les deux membres, et il en rés.ulte cette suite d'égalités :

.r; -4- <-{-... 4- .r^^ =Ao,

tfr^-^-- ■' -**"" -^ ' 1^»*^*

-(.r: Vr,-f ^ \rî-t--..-^.^r.>'//) = ^»'

-M- «"^ '" -4- ^rv: -4- . . . + .r ^n) = ^^

qui feront connaître les fonctions simples \ ^^ X^i ^^

degré p -h- q =z fx.

Le calcul des fonctions doubles, triples, etc., peut être exécuté de la même manière que dans le cas des fonctions* symétriques ordinaires. Par exemple, pour avoir la fonction double \ -ï^f jf ''>'i Xi » on multipliera ensemble les

deux fonctions simples \ -^f J^ et\ x^ jf -^ le produit

se composera de la fonction simple \ •^f'*"''^'f et de la fonction double qu'on veut trouver. On aura donc

S'Milement il ne faudrait prendre que la moitié de cette vLileur, si l'on avait à la fois^'-::^ p^ q'=-- q.

Les fonctions triples, etc., se calculeront d'une manière analogue.

Ce qui précède suffît pour établir, comme nous l'avions annoncé, que les fonctions symétriques et rationnelles des solutions communes à deux équations peuvent s'exprimer rationnellement par les coefficients de ces équa-

SECTION II. CHAPITRE V. 6o5

lions, et Ton voit que leur détermination exige seulement l'élimination d'une inconnue entre deux équations.

265. Cas d'un nombre quelconque d'équations. — La même méthode s'applique à un nombre quelconque d'équations. Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de trois équations à trois inconnues

/(•^»r» «) = 0, F(j:,,>-, z)=o, ff(.v,x, z) = o,

et soient

les systèmes de solutions communes à ces trois équations. Conservant la classification que nous avons adoptée des diverses fonctions symétriques, la forme générale des fonctions simples sera

celle des fonctions doubles sera

et ainsi de suite. Et c'est à la détermination des premières que se ramène celle de toute fonction symétrique et rationnelle.

Désignant par t une nouvelle variable, par a et 6 deux indéterminées, nous poserons

tz^a- -\- oLf -\-^^z^ d*où xzrzt — ay — 6z

Ayant substitué cette valeur de x dans les équations proposées, nous éliminerons r et z\ nous obtiendrons ainsi une équation finale en f ,

6o4 couTis d'algèbuk supérieure.

contenant les indéterminées a et 6, et dont les racines seront

La somme des puissances |ut»«"«^» de ces racines pourra s'exprimer rationnellement par les coefficients de l'équation en ty c'est-à-dire en fonction des indéterminées a et o et des coefficients des équations proposées. On aura ainsi une équation de la forme

où le coefficient Â^^^ désire généralement une quantité connue. Le signe sommatoire 2 du premier membre s'étend aux n racines de l'équation en t, celui du second membre à toutes les valeurs de q et de /*, telles que

q -î- /•- ou '<^ a.

En posant p—'ii — q — r, et égalant les coefficients de a'/ £'' dans les deux membres, on aura

ï . ?. . 3 . . . fx

c'est la formule qui fera connaître les fonctions simples.

Pour former les fonctions doubles, triples, etc., on procédera comme dans le cas des deux équations. La forme du calcul est la môme, et l'on voit qu'en général les fonctions symétriques et rationnelles des solutions communes à plusieurs équations s'exprimeront toujours rationnellement par les coefficients de ces équations.

11 faut remarquer que la détermination des fonctions symétriques des solutions communes à trois équations exige l'élimination de deux inconnues entre trois équations, et généralement la détermination des fonctions

SECTION II. — CHAPITRE V. 6o5

symétriques des solutions communes à k équations exige rélimination de Â: — i inconnues entre A^ équations.

Extension de la méthode d^ élimination par les fonctions symétriques, au cas d'un nombre quelconque d'équations.

266. La méthode que nous allons exposer, d^apr^s Poisson, donne le moyen d'éliminer k — i inconnues entre k équations, lorsqu'on sait éliminer k — 2 inconnues entre A' — i équations, et, par conséquent, cette méthode ramène tous les cas, en dernière analyse, à Télimination d'une inconnue entre deux équations.

Pour fixer les idées, nous considérerons quatre équations seulement, entre quatre ou un plus grand nombre d'inconnues ; mais on verra sans peine que notre raisonnement est général et qu'il s'appliquerait sans modification au cas d'un nombre quelconque d'équalions.

Soient donc les quatre équations

* ' ^ (ar, ,)•, z, u, ,..)—Ci,

entre quatre ou un plus grand nombre d'inconnues x,ry Zy Uy . . . , et proposons-nous d'éliminer trois inconnues, x,jy z par exemple, entre ces équations.

Considérons en particulier les trois premières des équations (i),

I/(x, j, z, u, .. .) — o, Ffj-, J» z, U, . . .;rr:0,

et, en regardant x, y y z comme fonction des autres va-

(x>6 COURS d'algèbre supérieure

riables, u, . . . , désignons par

les n systèmes de solutions communes aux équations (a). Cela posé, remplaçons {JCyj, z), dans la quatrième des équations (i), successivement par chacun de ces n systèmes, et désignons par V le produit des résultats ainsi obtenus, en sorte qu'on ait

(3) V=<l>(.rl,Jl,Zl,tt,...)<^(x„J„ZJ,^/,...)...<^■.r„,r«,3rt,tf,...); l'équation

sera l'équation finale résultant de l'élimination dex,^' et z entre les équations (i), car cette équation (4) exprime la condition nécessaire et suffisante pour que les équations (i) admettent un système (x, y, z) de solutions communes. D'ailleurs V est une fonction symétrique et entière des solutions communes aux équations (a); on pourra donc l'exprimer rationnellement par les quantités indépendantes de jr, y y z qui entrent dans les équations (i). Pour cela, désignant, comme précédemment, par t une nouvelle variable, par a et 6 deux paramètres indéterminés, nous poserons

tzr X -■- af -r- ^z, d'où or— t- a.y — 6z;

en substituant cette valeur de x dans les équations (a), on aura les trois suivantes :

If t~ ar — 63, r, z, li, . . . ^ = o, F(r-- xj - Cjz, j, 2, // — o, f(t— av— Çz, >, 3, W, . . . = G,

entre lesquelles il faudra éliminer y et z. C'est donc à l'élimination de deux inconnues entre trois équations

SECTION II. CHAPITRE V. SoH

que nous ramenons rélimination de trois inconnues entre quatre équations. L'équation finale en t qui résulte de rélimination dej^ et de z entre les équations (5) aura pour racines

et son degré sera égal à n. Supposons cette équation formée, et ordonnons-la par rapport à t; elle sera

Pij P%j • • • étant des fonctions rationnelles de m, . . ., qui contiennent aussi les paramètres a et 6. Cette équation (6) servira, comme nous l'avons vu précédemment, à calculer les diverses fonctions symétriques des solutions communes aux équations (2), dont Texpression de Vest composée, et le problème sera enfin résolu.

Cette méthode conduit, dans les applications, à des calculs d'une longueur rebutante ; mais nous allons en conclure aisément une démonstration nouvelle du théorème de Bczout, relatif au degré de l'équation finale, ce qui est l'objet principal que nous avions en vue.

Théorème de Bézout sur le degré de l* équation Jinalc.

267. D'après ce qui précède, n étant le nombre des solutions communes (x, j^, z) aux équations (2), on obtiendra une équation finale du même degré n en éliminant deux inconnues quelconques entre les équations (2) . Cela est d'ailleurs évident a priori, car, à cause de la généralité que nous supposons aux équations, tout est semblable par rapport k x, y, z, u, , . . . Toutefois, il est important de faire cette remarque, parce que le contraire pourrait avoir lieu si l'on attribuait aux coefficients des valeurs particulières.

6o8 COURS d'algèbkr supérieure.

Lemme. — Si n désigne le degré de l'équation finale qui résulte de V élimination de deux inconnues entre les trois premières des équations ( i ) et m le degré de la quatrième équation (i), le degré de l'équation finale résultant de l'élimination de trois inconnues entre les quatre équations (i) est au plus égal à mn.

L*équation (6), qui résulte de rélimination de y eiz entre les équations (5), étant du degré /i, les coefUcients Pij p2j • - • sont des fonctions entières de u, . . . , dont la première est au plus du premier degré, la deuxième du deuxième degré, etc. Cela posé, la somme des puissances semblables de degré fx des racines de Téquation (6),

c'est-à-dire \ (oti -f- (XJ^ -î- 6^i )•*, peut s'exprimer sous

ibrme entière, en fonction des coefficients /^i , p^^ . . ., ])ar une formule qui est aii plus du degré fx par rapport à i/, ...; donc une fonction symétrique simple, telle

que \ •»*fj^2j, de degré p--hq-hr = yLy s'exprimera

par une formule qui sera elle-même au plus de ce degré u, par rapport au, .... Il résulte de là, et du mode général suivant lequel les fondions symétriques et entières les plus compliquées se forment à l'aide des fonctions simples, que toute fonction symétrique et entière du degré [à des solutions communes (X|, ji, ^i ), . . . , aux équations (^2), s'exprimera par une formule entière qui sera au plus du degré a par rapport k u, .... Or chacun des termes de l'expression de V, donnée par l'équation (3), est le produit de puissances de w, . . ., dont les exposants ont une somme /nn — ^jl inférieure à mn, par une fonction symétrique et entière de degré fx des solutions communes [Xi, y^, Zt), . . . , aux équations (2).. Donc, enfin, chacune de ces parties de V s'exprimera par une formule qui sera au plus du degré 7?in par rapport

à u, . . . , et, par suite, l'équation V = o sera au plus du degré mn.

On pourrait faire à la démonstration précédente Tob* jection que voici : Le raisonnement suppose que les coefficients p^j p^y ..«, sont entiers par rapport aux variables m, . . . , ou, en d'autres termes, que Téquatioo (6), qui est du degré n par rapport à chacune des variables t, m, . . . , est de ce même degré par rapport à toutes les variables. Or cela n'est pas tout à fait évident, quoique les équations (i) ou (5) soient supposées chacune la plus générale de son degré. Voici, ce me semble, la manière la plus simple de lever cette objection. Si quelques-uns des coefficients ^i, p2j . . . étaient fractionnaires, quelques-unes des racines t de l'équation (6) deviendraient infinies pour certaines valeurs finies

des variables u, Orjedisque cela ne peut avoir lieu,

tant qu'on laisse indéterminés les coefiîcients des équations (2) ou (5), et il suffit évidemment, pour justifier cette assertion, de citer un cas où cela ne soit pas. Supj^osons qu'on donne aux coefficients des équations (5) des valeurs telles, que chacune, restant du même degré, se décompose en facteurs linéaires de la forme

t -\- ay -^ bz -\- eu -\-, . ,-\- l\

on pourra exprimer chacune des racines t de l'équation finale relative à ces équations particulières, en fonction de M, ..., par les formules qui servent à la résolution des équations du premier degré; et ces valeurs de f, étant évidemment de la forme de g^/^ -h . . . -\-J\ ne pourront devenir infinies pour des valeurs finies de w, .... Ou déduit aisément du lemrae quî précède la démonstration du théorème de Bézout.

TnÉontME. — Le degré de V équation finale qui ré- S. — Alij, Slip., \. 39

6lO COURS D*ALG£BRE SUPÉRIEURE.

suite de V élimination de k — i inconnues entre k équations est égal au produit des degrés de ces équations.

Soient, en effet,

les degrés des k équations. Le degré de Féquation finale qui résulte de Télimination d'une inconnue entre les deux premières sera égal km^ m^, ainsi que nous l'avons établi au n® 186 : donc, d'après le lemme qui précède, si Ton élimine deux inconnues entre les trois premières équations, le degré de l'équation finale sera au plus m^m^Xmiy ou m^m^m^] de même, si l'on élimine trois inconnues entre les quatre premières, le degré de l'équation finale sera au plus m-i m^ m^ X rn^ ou m^m^niini^. Et l'on voit, en continuant ainsi, que le degré de l'équation finale qui résulte de l'élimination de k — I inconnues entre les k équations sera au plus égal au produit des degrés de ces équations.

On peut ajouter que le degré de l'équation finale sera précisément égal à ce produit, si les équations proposées sont chacune la plus générale de son degré, comme nous l'avons supposé. On s'en assure aisément en considérant un système de k équations décomposables chacune en facteurs linéaires, ainsi que nous l'avons déjà lait au n° 71.

Dé\^eloppement d'une Jonction algébrique implicite en série ordonnée suivant les puissances décroissantes de sa variable.

268. Les recherches que je vais exposer ici font pari le d'un Mémoire sur réiimînalion, publié par Liouvillr dans le tome M du Journal da Matliématiqurs.

SECTION II. CHAPITRE Y. 6l I

Soît

(i) M(ar,j) = o ou Mr=o

une équation du degré m entre deux variables xely. Si cette équation est du degré m par rapport à y y elle aura m racines j^, qui seront fonctions de x, et que nous nous proposons de développer suivant les puissances décroissantes de X. En réunissant les termes de même degré, Féquation ( i) pourra s'écrire de la manière suivante :

ou, en posant - = m,

/» f^f /t» • • • désignent ici des polynômes dont le premier est du degré m ; les autres sont au plus des degrés tu — I , m — 2, . . . , respectivement. Dans le cas le plus général, ces polynômes sont précisément des degrés w, m — ijTîi — a, ....

Les m valeurs de u fournies par T équation (3) sont des fonctions de x qui, pour or = oo , se réduiront aux m racines de Téquation

on pourra donc poser généralement

(5) Il ~ a -hf,

e s'annulant avec -• Nous nous bornerons au cas où les

racines de Téquation (4) sont inégales, et, dans tout ce qui suit, cette hypothèse doit être maintenue. Portons dans Téqualion (3) la valeur de u tirée de (5); on aura

(6) X'VI* -H «) -f- J^'"-*/i l« H- ') -+■ ^'"^^f2 (a -H «) -r-...r-- G.

6f2 COURS d'algèbre supérieure.

Développant chaque terme par la formule de Taylor, ayant égard à Téquation (4), et divisant par x*""*, il vient

faisons maintenant j: = oo dans cette équation , et désignant par a' la limite de ex, il vient

(8) ay'(a)-^/,(a) = o,

d'où

(9) a' = -'Ùhl.

Cette valeur de o/sera toujours finie, car, par hypothèse, Téquationy (a) = o n'a pas de racines égales.

Puisque €X a pour limite la quantité a', dont nous venons de trouver la valeur, on pourra poser

;io) ' gzzz — h ->

e' s'annulant avec - • Par suite, la valeur (5) de u devient

(il) u =z -X -\ 1 •

C'est la série dans laquelle u se développe, quand on se

horne aux deux premiers termes ; - est le reste corres-

pondant.

On peut déterminer la limite du produit e!jc de la même manière que celle du produit ex. Si, en effet, on porte dans Téquation (7) la valeur de e, tirée de (10), qu'on multiplie ensuite par x, et qu'on ait égard à Té-

SECTION II, — CHAPITRE V, 6l3

quation (8), il vient

en désignant par Eune somme de termes qui s'annulent avec -•, faisant donc x = oo , et désignant par a'' la limite de fi'ar, on a

équation qui détermine la valeur de cf." .

Connaissant la limite a" du produit c'a:, on pourra poser

d'où

J' étant une nouvelle quantité qui s'évanouit avec - • D'après cela, la valeur de (i i) de u devient

OL OC t

(•4) « = «+-+Ti

c'est la série qui exprime la valeur de u quand on se borne aux trois premiers termes ; —5 est le reste corres-

pondant.

On pourra obtenir ainsi autant de termes que l'on voudra du développement de u, et, commej^ = Mj:, on aura, par suite, autant de termes que l'on voudra du développement dcj^\ on a, en particulier,

> — aar H- a n H •