X JO
6i4 COURS d'algèbre supérieurs.
La deuxième de ces trois formules comprend toute la théorie des asymptotes rectilignes ; la courbe représentée par l'équation (i), où x et^ désignent alors des coordonnées rectilignes, a pour asymptote réelle ou imaginaire la droite représentée par l'équation
(iG) y=Z9..T^u!.
J^a diiïérence t! qui existe entre les coordonnées de la courbe et de l'asymptote est généralement un infiniment
petit du premier ordre ^ en considérant - lui-mérae
comme un infiniment petit du premier ordre.
J^a courbe représentée par l'équation (i) admet aussi pc»ur asymptote l'hyperbole que représente l'équation
117) jrrr.a.r4-a -h-;
mais dans ce cas la diflTércnce - des ordonnées des deux
courbes est un infiniment petit du deuxième ordre au moins. La courbe (17) pourrait êlre appelée asymptote du deuxième ordre de la courbe proposée ; et, comme on peut pousser aussi loin que Ton veut le développement de j^ en série ordonnée suivant les puissances décroissantes de x, il en résulte une infinité de courbes des degrés respectifs 3,4? • • • > et qui auront, avec la cçurbe proposée, un asymptotisme de plus en plus intime.
On voit aisément, sans qu'il soit nécessaire d'insister sur ce sujet, comment il faudrait modifier la méthode, si
TéquatioQ
avait des racines égales, contrairement à l'hypothèse que nous avons faite.
SECTIOir II. — CHAPITRE V.
Formation de l'équation finale qui résulte de télimi* nation d'une inconnue entre deux équations à deux inconnues. Nouv^elle démonstration du théorème de Bézout, Somme des racines de Inéquation finale.
269. La mélhode que nous venons d'exposer permet de former autant de termes que Ton veut de Téquation finale qui résulte de Télimination d'une inconnue enlre deux équations. Soient les deux équations générales
des degrés m et n respectivement; en réunissant les termes de même degré, on pourra les écrire de la manière suivante :
fj /m fij ••• sont des polynômes respectivement des degrés /;i, m — i,//i — a, . . . -, F, F|, Fa, ..-, des polynômes des degrés n, n — i , n — 2, ....
Soient j'i, j'2, ..., y m les valeurs de y tirées de la première des équations (i); portons-les dans le premier membre de la seconde, et désignons par V le produit des résultats ainsi obtenus, de manière que Ton ait
(3) V = ?î(.r, j.i)N(:r,r,)...N(.^,Jm);
l'équation finale qui résulte de l'élimination de j* sera
On calculera aisément la fonction V, en développant en série, suivant les puissances décroissantes de x, chacun
6l6 COTJKS D*ALGEBRE SUPÉRIEUEB.
de ses facteurs, dont l'expression générale est N {x,y). Je dis même que, si Ton ne veut connaître que le premier terme de V, il sufCt de borner les séries dont nous parlons à leur premier terme; que, si l'on ne veut que les deux premiers termes de V, il suffît de connaître les deux premiers termes des séries, et ainsi de suite.
Supposons, par exemple, qu'on ne veuille connaître que le premier terme de V ; on a, en faisant comme précédemment M = -»
N(.r, j-)=jr'»F[i/)-4-J-«-»F|(i/) -*-..•.
Posons aussi, comme plus haut,
e étant une quantitéqui s'annule avec -» et a une racine quelconque de l'équation
on aura
et, pour a- =a: ,
OU
E désignant une quantité qui s'annule avec - • D'après cela, en représentant par
le» m valeurs de a, on aura
E|, E2, ..., E;„ désignant des quantités qui s'évanouissent avec-* Si Ton multiplie ces équations et que Ton ait égard àTéquation (3), il viendra (5) V=:x'«'«F(a,)F(a,)... F(a^) -f- x'«'» H,
H désignant une quantité qui s'annule avec -• Le premier terme de V est donc
on pourra l'exprimer en fonction rationnelle des coefficients de F ety, puisque F(ai) F(a2). . .F(a,„) est une fonction symétrique et entière des racines de Téquation
Il suit de là que Téquation finale qui résulte de Téli* mination de j^ entre les équations [\) et (2) est d'un degré égal au produit des degrés de ces équations.
Remarque. — Si les coefficients des équations (i) ont des valeurs déterminées, et que ces équations contiennent la plus haute puissance de jj l'équation finale résultant de l'élimination de ^ sera toujours V = o, et l'on voit que le degré de cette équation finale sera encore égal au produit des degrés des équations proposéeSy à moins que les équations
6l8 COURS d'alGEBBE SUPÉBIEOmV.
niaient une ou plusieurs racines communes, auquel cas ce degré s^abaissera nécessairement.
270. Pour avoir les deux premiers termes de Téquation finale V = o, il faut connaître les deux premiers termes du développement de N(a:, ^) en série. Pour cela, dans Téquation
nous poserons
('désignant toujours une quantité qui s'évanouit avec - •
a une racine de
et a' une quantité que nous avons calculée, et qui esl déterminée par Téquation
on aura alors
E désignant une quantité qui s'annule avec - • Celle for-
mule donne le développement de N(x,j'), bornée aux deux premiers termes; en y remplaçante par chacune de ses m valeurs, on aura
N(^,r,) = .r-F(a,)+x'— [a',F'(a,)-hF,{a,)] + ^-'E„ Nix, j,) ^.r-Fla,) + x'-'[a', F'(7.,) -+- F, ( a, )] + x—' E„
Dans ces équations, E|, E2, . . . sont des quantités qui s'évanouissent avec-? et a',, a^, ... sont les valeurs
de a! qui correspondent aux valeurs ai, as, ... de a. Multipliant toutes ces équations et désignant simplement par x'^""* H Tensemble des termes dont le quotient par
jn-m/i-i s'annule avec -5 on aura
-Hx""— F (a.) F (a,). . .F (a„) ^?'I-'i^^j±£i.W +.,-"— H.
Dans cette dernière formule, la quantité H, qui est infiniment petite avec -t contient un nombre limité de termes,
et Ton voit que le deuxième terme de V aura pour coefficient
le signe \ s'étendantà toutes les racines a de Téquation
D'après cela, si Ton désigne par \ a: la somme des racines de Téquation finale en x, on aura
ou, en mettant au lieu de a' sa valeur — t^V— »
Z'''"Z/'(«)F(a} ZF(a)'
On pourrait calculer ainsi autant de termes que Ton voudrait de Téquation finale V = o, par suite celle équation tout entière : seulement les calculs deviennent de plus en plus compliqués, et nous devons nous borner à ce qui précède.
620 coons d\lgèbre supékieuiie.
271 . Au lieu de porter dans Téquation N = o les valeurs de j^ tirées de M =. o, afin d'avoir Téquation finale V = o, on aurait pu faire Tin verse, porter dans l'équation M = o les valeurs de y tirées de N = o ; mais alors
on aurait eu une autre expression de la somme \ x des
racines de l'équation finale, que Ton peut écrire sans faire de nouveaux calculs. Il est évident, en effet, que Ton aura '
les sommes du second membre s'étendant à toutes les racines 6 de l'équation
En égalant entre elles ces deux valeurs de \ x, on obtient
Z/'(aTF'(a) ZF(aj ' Z F'(6)/(6 1 Zj7(6j'
les sommes du premier membre étant relatives aux racines Cf. dey(a) = o, celles du second aux racines o de F(o) = o. Dans cette formule, qui exprime un théorème d'Analyse, yet F désignent des polynôme^ quelconques, qui n'ont pas de racines égales, ni de racines communes; j\ et F| désignent aussi des polynômes quelconques, mais de degrés respectivement moindres que/* et F.
Supposons que le polynôme F soit égal à/l, et que F| soit identiquement nul ; Téquation précédente se réduit à
ou même à
puisque chaque terme du second membre est nul, le signe \ étant relatif aux racines de F(6)=o, Dans
Téquation précédente, le signe \ s'étend aux racines
a de J*[a) = o, et F* désigne la dérivée d'un polynôme quelconque F de degré inférieur à y*; par conséquent, F' est un polynôme quelconque de degré inférieur à /'. La formule précédente résulte aussi, comme nous Tavons vu, de celle qui donne la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples.
Dév^eloppementSy en séries ordonnées suwant les puissances décroissantes de la variable y de plusieurs fonctions algébriques définies par autant d^ équations.
272. L'analyse que nous venons de développer peut être aisément généralisée, et étendue au cas d'un nombre quelconque d'équations.
Soient
deux équations générales des degrés w et 71 respectivement entre les trois variables Xy j, z; la première x étant considérée comme indépendante, les deux autres >^ et z en seront des fonctions. En réunissant les tej'mes de môme degré, les équations (i) pourront s'écrire de la manière suivante :
6aa COURS d'algèbre supérieure.
ou, en posant - =: m, - = r,
' j j:" F (i/jP) -+-x«-» F, (w, !•)-+-... rzio;
/'et F sont des polynômes des degrés m et n respectivement, entre les variables li et i^; yj et Ff sont respeclîvement des degrés m — i et n — i, et ainsi des autres.
En vertu des résultats précédemment obtenus, le nombre des solutions communes ( a, m) aux équations (3) est mfif ainsi que le nombre des solutions communes (0e, S) aux équations
et les mn systèmes de solutions communes des équations (3) se réduiront, pour j: = qo , aux run systèmes do solutions communes des é(|uations (4)* On pourra donc poser généralement
' 5 ) W rrr a -f- C, «» — ^ 6 -+- lî,
e et r, désij^nant des quanlilés qui s'annulent avec -• Ces
(juantilés sont d'ailleurs les restes des séries dans lesquelles a ett^ se développent quand on borne ces sériesà leur premier terme. Pour calculer les limites des produits eXy mXf nous suivrons la même marche qu'au n^268. En portant dans les équations (3) les valeurs de a et w', tirées de (5), et ayant égard aux équations (4), on a
En divisant ces équations respectivement par x'"~* <*i
SECTION II. CBAPITKIS V. 6^3
a:""*, faisant ensuite a: = 00 , et posant on obtient
d*oii l^on tire les valeurs suivantes de af et & :
