Le théorème précédent conduit à quelques con
séquences intéressantes. Désignons toujours par \ xla
somme des abscisses des points de contact d'une courbe algébrique avec les tangentes qui font l'angle ci> avec la direction des x positives, et faisons varier îù de sa différentielle d(Mi ; comme \ x ne dépend pas de cet angle, on aura
Mais, en désignant par ds l'arc infiniment petit qui a pour projection rfx, on a dx = dscostù\ par suite,
\^jcos«=:o, ou \— =o;
puisque cosco et dtù sont constants, — est la valeur du rayon de courbure p ; on aura donc
zrro,
les rayons p étant pris avec un signe convenable ; on aura aussi
p' désignant le rayon de courbure de la développée, et ainsi de suite.
En outre, si | et u représentent les coordonnées du centre de courbure correspondant au point (x, y), on a
.r = Ç — p sin w, j = w -h p cos6> ;
donc, en ayant égard aux formules précédentes, on a
encore
c'est-à-dire que le centre des moyennes distances des points de contact d'une courbe algébrique avec la série des tangentes parallèles à une même direction est le même que le centre des moyennes distances des centres de courbure correspondants.
377. Ltiouville a également donné dans son Mémoire la démonstration du théorème suivant, qui est analogue au précédent :
Théorème. — Si l'on n}ène à une surface algébrique la série des plans tangents parallèles à deux directions fixes, le centre des moyennes distances des points de contact sera indépendant des deux directions données.
Si
est Téquation d'une surface algébrique, les coordonnées des points de contact de cette surface avec les plans tangents parallèles au plan qui a pour équation
seront données par les trois équations
M =: O, -T h rt 3- = O, -- + 6» -5- =: O.
ÔJ^ ôz ôy ôz
Il sufHt, pour établir le théorème qui vient d'être énoncé, de calculer la somme des racines de l'équation finale qui résulte de l'élimination de deux inconnues entre les trois équations précédentes. En suivant la marche que nous avons tracée, on trouvera que cette somme est indépendante de a et de b. Ce calcul ne présentant aucune difficulté, nous nous dispenserons de le. présenter ici, et nous renverrons, pour plus de détails, au Mémoire de Liouvillc. On y trouvera, du reste, un grand nombre
636 COURS D^ALGkBRB SUPÉRIEURE.
de conséquences intéressantes que nous ne pourrions développer sans sortir des limites que nous nous sommes imposées.
Sur l'élimination d^une inconnue entre deux équations dont les coefficients ont des valeurs particulières quelconques,
278. Nous avons fait connaître, dans le Chapitre I'^ la méthode fondée sur la théorie des fonctions symétriques, pour former Téquation finale qui résulte de Télimination d'une inconnue entre deux équations ; nous avons démontré ensuite que le degré de l'équation finale relative à deux équations générales des degrés m eln respectivement est précisément égal kmn, et que, dans aucun cas, ce degré ne peut surpasser le produit des degrés des équations proposées. Nous sommes revenu sur cette question dans le présent Chapitre; mais, à Tégard des équations particulières, nous nous sommes borné encore, comme nous l'avions fait précédemment, à assigner la limite que ne peut dépasser le degré de Téquation finale. Nous allons indiquer ici, d'après M. Minding, un moyen simple de déterminer avec précision le degré de Téquation finale relative à deux équations quelconques données ( * ).
Cas particulier du développement d' une fonction algébrique implicite en série ordonnée suiv^ant les puissances décroissantes de sa variable,
