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on aura ainsi les deux premiers termes des séries dans lesquelles u et ^', ou j^ et z, peuvent se développer, et l'on voit aisément qu'on pourra, de la même manière, obtenir les termes suivants.
Cette méthode s'applique, quel que soit |u, au cas de [i — I équations entre [n variables, pourvu qu'on écarte, comme nous l'avons fait jusqu'ici, en raisonnant sur des équations générales, quelques cas particuliers qui peuvent se présenter.
6^4 couns d'algèbre supérieurs.
Formation de V équation finale qui résulte de l'élimination de deux y trois y etc., inconnues entre troisy quatre, etc., équations. Nouvelle démonstration du théorème de Bézout, Somme des racines de l'équation finale.
273. On peut, par l'analyse précédente, former autant de termes que Ton veut de l'équation finale qui résulte de l'élimination de deux, trois, etc., inconnues entre trois, quatre, etc., équations.
Soient, par exemple, les trois équations générales
(l) M(.r, j, z)=:0, N(j:, ^, «) = o, P(j:, jr, z) = o,
des degrés m, zz, ^respectivement, entre trois inconnues x,jy z; en réunissant les termes de môme degré, ces équations seront
\x XI \x x]
y, F et ç sont des polynômes des degrés m, n, p respectivement, par rapport aux deux variables qu'ils renferment ; yi, F|, fi sont respectivement des degrés w — i, n — I, p — I, et ainsi de suite.
Désignons par
(.>'li ^1 « (Tii ^l]» •••»' [ymn't ^mn]
les mn systèmes de solutions communes aux deux premières des équations (i), et posons
SECTION II. — CHAPITRE V. 6a >
Téqualion finale résultant de rélimination de y ei z entre les équations (i ) sera
et c'est cette équation qu'il s'agit de calculer. On y parviendra en développant en série chacun des facteurs P{x,jrf z) de V, et il suffira de connaître autant de termes du développement de P qu'on en veut avoir dans V. Nous nous bornerons ici, comme nous l'avons fait dans le cas de deux équations, à calculer les deux premiers termes de V, ce qui suffit pour connaître le degré et la somme des racines de l'équation finale.
On a, en faisant, comme précédemment^ - = a, - =z ^^^
et, si Ton pose
il vient
V[x,y, z)=jr/'^(a,e)-+-a:/'E,
E s'annulant avec -i ainsi que e et 7}. En mettant dans
Téquation précédente, à la place de xet j^, leurs mn valeurs, il vient
P ( .^, ri, zi ) -— •'^'' ? ( ^11 61 ) -4- •^'' El,
P [^. ri, 3,) =:.r/'ç(y.„ S,) -i- X/'E,,
E|,E2, ..*, Em/i étant de.s quantités infiniment petites avec -• Enfin, en multipliant toutes ces équations, on a la valeur suivante de V:
S. — Alg. sup,f I. ^0
6afi covKS p'âlgèbee sopêrieure.
où H désigne une quantité qui s*annule avec -• Le premier terme de V est donc
II suit de là que le degré de Téquation finale qui résulte de Télimination de j^ et z entre les trois équations (i) est égal au produit des degrés de ces équations, ce qui fournit une nouvelle démonstration du théorème de Bézout.
Si Ton veut obtenir les deux premiers termes de Téqu^lîon finale V = o, il est nécessaire de calculer les deux premiers termes du développement de P (x, j^, z) en série ordonnée suivant les puissances décroissantes de x. Pour cola, dans Péquation
P(jp, /, «^ =«*^f(«r, ••) -h x/»-* f t ( If , i- ) -+-... nous poserons
Ot' f'
t'otïîMt'si^uaul loujoursdcsquanlités qui s'évanouissent «voo -yOi' et S' des quantités déterminées par les équalions
1^ valeur deP(a:,j^, z) pourra alors s'écrire de la manii^rc suivante :
SFXTION II. CHAPITKE V. 627
en désignant par E une quantité qui s'annule avec -\ on aura donc
Dansces équations nous avons mis, pour abrég^er, -:- -, ...
à la place de -^-k-^ — *-■» ... ; «', » «j, • • • désignent les
valeurs de ot! qui correspondent aux valeurs cti, «a» • • • de a; enfin, £|, E^, . . . sont .des quantités infiniment
petites avec-- En multipliant toutes ces équations, on
aura la valeur suivante de V :
V ^x'^'^P y (ai, 6,) ç(«„ 6,). . . ç[a;„„, e^„)
. U9 Ho
-+- x""'/'-* H, où H désigne une quantité qui s'annule avec -9 et où le
signe \ s'étend à toutes les solutions communes (^, É) des deux équations
/(a, 6):zzo, F;a,$;^o.
Le second terme de V est donc
^«"'^^(«i, €,)... 9[^mn. €,„„) ^ ~-^
628 COURS d'algèbre supérieurb.
cl si Ton désigne par\ x la somme des racines de l*cqualion finale V= o, on aura
En remplaçant, dans cette formule, 0/ el S par leurs valeurs écrites plus haut, et en faisant, pour abréger,
on aura cette expression
OÙ les sommes du second membre sont relatives à tous les sNStùmesdc solutions communes aux deux équations
1,0 calcul des deux premiers ternies de Téqualion finale, qui résulterait de l'élimination de jtx — i inconnues entre fx équations, n'offrira pas plus de difficulté, quoi que soit |x, que dans les deux cas particuliers qui ont été développés ; la marche à suivre est toujours la niéme, et Ton peut considérer comme générale la nouvelle démonstration que nous avons donnée du théorème .de Bézout pour les cas de deux et de trois équations
Démonstration d^ une formule de Jacobi.
274. Pour obtenir Téqualion finale V=-o, nous avons porté, dans la troisième des équations données, les valeurs
SECTION lî. CHAPITRE V. 629
dey et de z, tirées des deux premières ; mais on aurait pu opérer de deux autres manières différentes : par exemple, en portant dans la première équation les valeurs dcj^ et de z, tirées des deux dernières, on aurait obtenu une
expression différente de \ x, qui peut évidemment être
tirée de celle déjà trouvée, en changeant l'une en Taulrc y et y, yi et Qi , .... On a donc
Zd ZdJiy.S] L ./(v, (r)A(7, tî) " ■'
mais ici les sommes qui figurent dans le second membre sont relatives aux solutions communes des équations
Égalons les deux valeurs trouvées pour \ x, et supposons que les polynômes F| ety*i soient identiquement nuls; on aura
91(7^ ^jCJV' ^)
en se rappelant que le signe y s'étend, dans le premier
membre, aux solutions communes de f{oiy 6;=:o, F(a, f ) = o, et, dans le second membre, aux solutions communes de F(7, J) = o, (^(y, ^) = o. On peut, dans cette formule, considérer les polynômes^, F et cj) comme absolument arbitraires; et, quant au polynôme CP|, il n'est assujetti, par notre analyse, qu'à la seule condition d'être d'un degré inférieur à celui de y. Supposons
ç(«, €)--^C(«, 6); la somme du second membre de l'équation précédente
^v> COURS d'algèbre SUPÉRIEURE.
sera alors relative aux solutions communes des deux
équations
el, par conséquent, chacun de ses termes sera identiquement nul. On aura donc
ou
le signe \ s'étendant aux solutions communes des deux
équations
Cette formule remarquable, où (fi désigne un polynôme
quelconque de degré inférieur à celui de ^-^ g - g %
est Textension de celle que nous avons démontrée au II** 217 et que nous avons rencontrée de nouveau au n"* 271 . Elle a été démontrée pour la première fois par Jacobi, et Liouville y a été conduit naturellement, comme nous venons de le faire voir, dans ses recherches sur rélimination.
^application de la théorie précédente à une question
de Oéométrie,
273. Liouville a déduit des résultats qui précèdent la démonstration d'un théorème curieux de Géométrie que nous allons présenter ici :
Théorème. — Si l'on mène à une courbe algébrique la série des tangentes parallèles à une direction donnée.
le centre des moyennes distances des points de contact sera indépendant de cette direction.
Soit
Téquation d*une courbe algébrique; les coordonnées réelles ou imaginaires des points de contact de cette courbe avec les tangentes parallèles à la droite y s=. ax seront les solutions communes aux deux équations
Si Ton pose - = u, et qu'on représente la courbe par
Tcquation (f (x, u) == o, les coordonnées x et u seront les solutions communes aux deux équations
^ ' ox X au
Soit donCy conformément aux notations du n° 268,
f, f\j . • . , désignant des polynômes des degrés m, //* — I , ... ; on aura
g? = mx'^-'^f[u) 4- (m — ijx'^-Vit") -f-. . ., et, par suite,
Ôx X ou ^ ' ^ '
en faisant, pour abréger,
632 COVKS D* ALGÈBRE SXJPÉKIEURE.
F(ii), F|(i/), . . . sont des polynômes des degrés m — i, m 1— 2, ... ; car, dans F(u) par exemple, les deux termes» du degré le plus élevé, qui proviennent de mf[u) et de {a — u)f{u)y se détruisent évidemment; et la même chose a lieu pour Fi (u), ....
L'équation finale qui résulte de Télimination de j entre les équations (i) est la même que celle qui résulte de Télimination de u entre
Si donc on désigne par \ x la somme des racines de Téquation finale, on aura (n^ 269)
le signe \ sMtendant dans le second membre aux racines de Téquation
et a' étant une quantité déterminée par Téquation
Pour avoir l'expression de ^ j: en fonction des quantités données fyf\y . . . , dlflcrentions la première des équations (2); on aura
Les équations (2) et (3) donnent ensuite
OU, comme la quantité cL'f'[(X-l -^J\{^) ^^^ nulle,
On aura aussi , en faisant ii^zza dans la première des équations (2), et en remarquant quey(a) est nulle,
Des équations (4) et (5) on tire
par suite, la valeur de > x est
et Ton voit qu^elIe est indépendante de a. La somme des distances à Taxe des y des points de contact de notre courbe avec les tangentes parallèles à la direction donnée est donc indépendante de cette direction; ce qui démontre le théorème énoncé, car Taxe desj^est une droite quelconque située dans le plan.
La démonstration précédente semble en défaut lorsque l'équation/ (a r= o a des racines égales; pour montrer que les conclusions sont cependant exactes dans ce cas, on peut employer un raisonnement dont nous avons déjà fait usage. 11 suffira de changer infiniment peu les coefficients dey, de manière quey(a'i=::o n'ait plus de racines égales, et de supposer ensuite ces changements nuls : on aura une courbe infiniment peu différente de la proposée, et pour laquelle le théorème aura lieu ; d'où Ton peut conclure qu'il a lieu, à la limite, pour la courbe proposée elle-même.
