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r :rz ax -4- a' H } ;-!-...,

en sorte que, dans le cas général, les racines/ d'une équation à deux variables x et y sont du premier degré par rapport k x{*). Mais il n'en est pas toujours ainsi, lorsque l'équation que l'on considère manque de quelques termes. Nous allons indiquer un procédé pour trouver généralement les degrés des racinesj^de l'équation (i), et pour former les développements de ces racines en séries ordonnées suivant les puissances décroissantes de x. En ordonnant l'équation ( i ) par rapport aux puissances décroissantes de j^, nous l'écrirons de la manière suivante :

(2) A/*" -f- Ajj'^t -f- . . .-hAkjr'"^ -+- . . . -4- A,/'"^-4- A,+i .— o, et nous désignerons par

les degrés des coefficients

A, Al, Aj, . . ., Ajt, . • «i A/, A^^j,

qui sont des fonctions entières de x.

Cela posé, désignons par r un exposant indéterminé, par u une nouvelle variable, et faisons

X — UJC'';

(*) On dit qu'une fonction jr de x est da de^ r, lorsque le quotient

r ^ u'est ni nul ni infini pour x=oo .

638 COURS d\lgèbre sDPÉmeiiiiE.

Téquation (2) devient

(3) Ajr'"''«"*-hAiX'"t''«'"-H-... 4- A^jr'"*'" «"'*-}-. ..4-A^,=o, OU, en divisant par Ax'"'",

A, j--('"-'"t>'' Aaj:^('"-'"*>'' ^ A/

ft-mr

dans celte équation, les degrés relatifs àx des coeflicients des termes qui suivent le premier sont respectivement

^ "^Xm — nik ; \ ^^ I

Désignons par p^ le plus grand des nombres

m — /W| m — niif m — //i| m

et supposons que - - — - soit le dernier de ceux qui sont

égaux à pi. Si l'on fail/==:û|, quelques-uns des nombres (5) seront nuls, mais tous les aulres, et en particulier ceux qui suivent le A'*"*, seront négatifs; en sorte que, pour x := 00 , Téquation (4) prendra la forme

(6) i/"'-h.. .-+-B^.i£"» ^o, ou «'"»/(i/; = o,

les coefficients B ayant des valeurs finies et le dernier d'entre eux By^ étant différent de zéro. Cette équation (6) a irik racines nulles, et m — tiik racines finies et différentes de zéro. 11 s'ensuit que, parmi les racines j^ de l'équation (2), il y en a nih dont les degrés sont inférieurs à pi, et /;/ — nik dont les degrés sont égaux à Oi . En outre, les premiers termes des séries qui représentent ces dernières

SECTION II. CHAPITRE V. 63g

racines sont égaux aux diverses valeurs de ax^«, quand on prend successivement pour a chacune des racines de Inéquation

Cherchons maintenant les premiers termes des séries qui représentent les m* racines j^ de degré inférieur à pi . Eu divisant Téquation (3) par Aax'"»^, elle devient

Il"' -h ... 4- «'"* -f- . . .

Aj^:r('"hr-nti)r A/^j-r— *"»

les coefficients des termes qui précèdent u*"* ont pour degrés

et ceux des termes qui suivent u"'t ont pour degrés

Désignons par p^ le plus grand des nombres

et supposons que ^- soit le dernier de ceux qui

sont égaux à p^. Il est aisé de voir que p^ est plus petit que /9|. En eflet, on a, par hypothèse.

iw — ni/g m — m^j

,% /ik en déduit

Si Ton fait r=ca» les nombres (9) sont nuls ou négatifs, et en particulier tous ceux qui suivent le {V — ^y«">« sont uégatifs. On voit aussi que tous les nombres (8) sont négatifs; car, si g^ est <^ A, on a, par hypothèse,

^'^-^ =2 OU < 0. avec -^*"~^ = Pi» m — w^ - ' m — //ijt

d'où

i^^^^-=ou>.. et .^±ZliV -p,>o.

D'après cela, si Ton y fait r = p^ et a: = 00 , Téquation (7) prendra la forme

les coefficients 6 ayant des valeurs finies et le dernier B^r étant différent de zéro. Cette équation (10) a mj^ racines nulles et ni/t — m/(f racines finies et différentes de zéro. Il s'ensuit que, parmi les racines^ de l'équation (2), il y en a ///^^ dont les degrés sont inférieurs à p^f eimjç — mj^ dont les degrés sont égaux à p^. En outre, les premiers termes des séries qui représentent ces dernières racines sont égaux aux valeurs de ax^« quand on prend successivement pour a chacune des racines de l'équation

En continuant ainsi, on déterminera les premiers termes des séries qui représentent les m^ racines de degré inférieur à |9o. Ce que nous avons dit suffit évidemment pour établir le théorème suivant :

SECTIOIf II. — CHAPITRE V. 64l

Théorème. — Etant donnée l'équation

ordonnée par rapport aux puissances décroissantes de jTy et dans laquelle les coefficients

A, A]^ Aj A

sont des fonctions entières de x ayant respectivement pour degrés

si p , désigne le plus grand des nombres

fi/ — a

ef ^we — soit le dernier de ceux dont la valeur

m — mj^.

est Pi, l'équation proposée aura m — m^ racines de

degré pi, et si k est <^i-\- i, les m/g autres racines seront

de degré inférieur à p^. Si, en second lieu, p^ désigne

le plus grand des nombres

'^^A— "ÎA + I ''«A— "'A+2 "'A-

et que ^-^ soit le dernier de ceux dont la valeur

est p2j l'équation proposée aura nik — /wa' racines de degré p^y et si h! est <^ i -i- i , les m/^ autres racines saront de degré inférieur à jOa- Si, en troisième lieu, p^ désigne le plus grand des nombres

et que ' ■ — soit le dernier de ceux dont la valeur

est pzy r équation proposée aura m^t — '/^a// racines de

S., yélg, snp. — I. 4*

degré pz^ et si k^^ est <^ i -H i^ les ni^tf autres racines seront de degré inférieur à p^, et ainsi de suite.

Quand on aura trouvé les premiers termes des séries qui représentent les diverses racines j^ de Téquation proposée, on obtiendra aisément et de la même manière autant de termes qu'on voudra de ces séries. Considérons, par exemple y une racine dont le premier terme soit aa', on posera

il la proposée n'a qu'une seule racine dont le premier terme soit aa:^, la transformée en z n'aura qu'une seule racine de degré inférieur à jO, et si la proposée a plusieurs racines ayant ax* pour premier terme, la transformée aura un pareil nombre de racines de degré inférieur à p. On trouvera les premiers termes de ces racines de Téquatîon en z, comme on a trouvé les premiers termes des racines de Téquation en j- ; on connaîtra ainsi les deux premiers termes des racines de l'équation en y qui ont ax^ pour premier terme. Et, en suivant la même marche, on calculera autant de ternies que l'on \oudra dos racines de l'équation en y.

Exemple. — Proposons-nous de trouver les degrés des racines j' de l équation

nous désij^nons, a\ec BézonI, par la notation x.fx. un polMionie en x du (lei;ré u.

D'après le théorème (nie nous venons d'établir, il tant d abord lonncr les noinl)res

SECTION II, — CHAPITKE V. 643

dont le maximum est -: le dernier nombre ciçal à ce maximum occupant le deuxième rang, Téquation proposée a deux racines de degré-- Pour avoir les degrés des autres racines, il faut former les nombres

dont le maximum est — -•, le seul nombre égal à ce

maximum occupant le troisième rang, l'équation pro-

posée a trois racines du degré — - •

Formation de V équation Jinale qui résulte de Vélimi^ nation d'une inconnue entre deux équations quelconques à deux inconnues, — Déternilna'ion du degré de l'équation Jinale,