Soient les deux équations

\l) N (.r, y] — Bj" H- Bi X^x -4- ... 4- By.)"/ 4- By.» , ■ -. 0,.

que nous supposons ordonnées par rappoi l aux puissances décroissantes de y, et dans lesquelles les coefficients A,

A| B, B|, . . sont des fonctions entières de jr. Il

s'agit de former Téquation finale qui résulte de Télimination de j.

Désignons par >|, 72, . .., y m les racines de l'équation (i) résoluç par rapporter, par ru, ^tï^j * -i ^n les racines de Téqualion (2), et posons

rj^,^ COrnS D^ALGÈBRE SUPÊRIRUttE.

M x,y) =X(x — Xi) [y — Xi). . .(r — .r,„\

doù

Il suit de là que — est égal au produit des différences

nu*on obtient en retranchant chacune des racines i,, y Omde chacune des racines Tj,,?),, r^s, . . ., t,„. On

trouverait de même que — est égal au produit des différences qu'on obtient en retranchant chaque racine r, de chaque racine r, et, comme le nombre de ces différences est nm^ on a

ou

Or P est une fonction entière et symélricjue des racines de l'équalion ! > ), et ses coefficients sont des fonclious entières des coeHicientsde l'équation ( i ; donc B^^P est une fonction rationnelle des coellicientsdes équations proposées, et qui même est entière par rapport aux coeflicienls de Téqualion i i ). Pour la même raison A"Q est une fonction rationnelle des coefficients des équations ])r()posées et qui est entière par rapport aux coellicienls de l'équation ( 9.). Donc, à cause de l'équation (3^, B^^P est une fonction entière des coefficients des équations (0 tl (2), el, par suite, elle est une fonction entière de a.

SFCTION II. CHAPITRE V. 645

Nous la dt'sîgiitTOiis par F (j:), et nous allons montrer que

est Téquallon (inale qui résulte de l'élimination dej entre les équations proposées. En effet, soit a une valeur de x répondant à la question, c'est-à-dire telle, que les équations

aient au moins une racine commune^ on a nécessairement, pour X = a^P= o et Q = o, et, par suite, F(x)= o. Réciproquement, soit a une racine de F{x) = o -, à cause de

on a nécessairement P = o et Q = o pour j: = «, et, par suite, les équations

ont au moins une racine commune. Cela suppose toutefois que A et B ne soient pas nuls en même temps, pour X = a; mais il est évident que les équations proposées admettent alors la solution commune x = a^j = x) . Au surplus, on peut exclure ce cas particulier en changeant infiniment peu les coefficients des polynômes A et Bsans changer leurs degrés*, d'où il suit c|ue l'équation (4) n'aura jamais de racine étrangère. Et cette considération permet aussi de voir que, si A et B ont un facteur commun, le polynôme F(x) sera divisible par ce facteur.

Lorsque les polynômes A, A|, . . . , B,B|, . . . sont chacun le plus général possible de son degré, les équations (i) et (2) n'ont pas de solutions multiples et ne peuvent acquérir qu'une seule racine commune y pour chaque ra-

().{(> COURS d'algèbre supéaiEunc.

cino (\c l'oqihTlion finale. Mais le contraire peut arriver si les coerficicnis des polynômes A, A|, . . . , 15, B|, . . . onl des valeurs dcterniinées. Dans ce cas, chaque racine de réqualion finale a le degré de muUij^licilé convenable : il snftil, pour s'en convaincre, de changer infiniment peu les cociïicients des polynômes A, A|, . . . , 13, B|, . . . , « t de sii[>poser ensuite ces changemcnls nuls.

Passons mainlenanl à la délerminalion du degré de Tcquation finale. Pour cela, on chercliera les degrés jC|,

Cj, ..., p„ des racines TTi. Xj r,,, de l'équation (a), et

Ton en conclura aisément les degrés X,,).2' ...» A« dos fonctions M(Jt\ 3Ci), M(x, r.a), . . ., M(.r, y.«). Ces degrés 1 peuvent être fractionnaires, mais ils ne sont jamais négatifs» parce que le polynôme A/^| est au moins du degré zéro. Enfin, si Ton désigne par v le degré du polynôme B, il est évident que le degré de B'"P ou F{x) sera

11 peut arriver, dans quelques cas particuliers, qu'il ne suffise pas de délerminer les degrés p,, p^, — Cf, pour

connaître /j, Àj ^/m t't (ju'il soit nécessaire de calculri

tnllùreinenl un ou plusieurs termes des séries ipii rcj)rr-

scntcnt les racines r,(, r.^ y^- Mais il est é\ideFit fpie

ces cas particuliers ne peuvent se présenter (pie si la série

dans hi(|uelle se dévelo[)|)(* Tune des racines y:i, yj^ r..i

coïncid«\, dans quelques-uns de ses premiers ternies. a\ec la série dans la(|uelle se dc\eloppe Tune des racine«-

Soient, pour e\eni[)le, les deu\ équations

'.r, ^ > ^-+- (.r,G) r' -f- f.r, q' y -h Lr, .\\ )-}- a-, 3 r -f- '.r. a - o.

où (.r, u.) désigne, comme plus haut, un polynôme quelconque du degré a.

Les degrés ?i,pî, 03, 04, 05 des raciucs de la seconde équation ont ici pour valeurs

on en déduit

D'ailleurs, v = 8 et m ^=4* donc le degré de Téqualion finale est ici