E* — DF = A
Soit x' l'un quelconque des quotients complets qui se reproduisent périodiquement dans le développement de x, on aura
E' et D' étant des nombres entiers essentiellement positifs. On peut faire commencer la période de la fraction continue au quotient incomplet contenu dans x'^ et nous la désignerons par
a, «i, ^2, . . ., ^/A— il
enfin nous représenterons par - la valeur de la fracUon continue formée avec ces mêmes quotients, en sorte que
Yon aura
Cela posé, nous nous proposons de trouver la loi des réduites
de la fraction continue égale à x^ qui répondent, dans les périodes successives, au quotient complet x'.
Si l'on représente généralement par — r celle des ré-
Qm
duites de x qui précède -^ ? on aura d'abord
xm
et il est évident que la formule (5) donnera la valeur de -p si l'on y remplace x' par - ; on aura donc
P^ ^ aVn-x -4- 6P;<
Le second membre de cette formule est une fraction irréductible ; car, si l'on retranche ses deux termes l'un de l'autre après les avoir multipliés respectivement par Q;2 i et P««i, puis par Q'^j et F^^,, on obtient pour différences les nombres a et 6 qui sont premiers entre eux. Il résulte de là que l'on a
Si l'on porte dans la formule (5) les valeurs de P^| et de
62 COUBS d'aLG£BRE SUPÉRIEURE.
Q'/i-i tirées des équations (6), il viendra
d'où l'on tire
Donnons à n les valeurs i, 2, 3, ..., /i dans la formule (7), et multiplions entre elles les n égalités ainsi obtenues, on aura
(8) F;, - Q„x= (Po- Qo^) (a - ^x')\ Si l'on fait, pour abréger,
puis que l'on désigne par m„ et Vn deux nombres rationnels définis par l'équation
(10) Un — V^ y'Â = {u^ — Ui V^ÂK
la formule (8) donnera, en remplaçant x et x' parleurs valeurs (1) et (2),
(..) P„- --"^-^Q^^ (p. - -V^Q.) («» — WÂ).
Si l'on effectue les calculs, qu'on égale de part et d'autre les parties rationnelles et les parties multipliées par ^,
qu'on remplace enfin le rapport — ^ - — par sa valeur — F, on aura
Le développement de la formule (10) fera connaître les quantités m„ et Un, après quoi les formules (12) donne-
roni les valeurs de P;, et Qny et résoudront ainsi le problème que nous nous étions proposé.
28. Considérons les expressions des quantités U| et t^i qui nous sont données par les formules (9). Si Ton re-
présente par -p la réduite qui précède - dans le développement du quotient complet x', on aura
jr^ =2 -^^ --5 d'où 6jr'* — (a — 6')^' — a' = O;
remplaçant x' par sa valeur — —, — 5 et égalant ensuite
à zéro la partie rationnelle, ainsi que la partie multipliée par y/A , il vient
d'où
Au moyen de ces relations les formules (9) deviennent
(•4) «. = -t-'' ^.VA = y/(='--^-^)''-(a6'-6a')
et, comme la différence aê' — aê' est égale à d= i , on aura
(i5) «î — Ai'î^rbi.
Nous pouvons conclure de tout cela une propriété remarquable, qui consiste en ce que les quantités U| et ^t ont les mêmes valeurs, quel que soit le quotient complet à partir duquel on fait commencer la période, pourvu que le nombre des quotients que Ton fait figurer dans cette période reste le même. En effet, supposons que
Ci CODAS d'algedre supérieure.
ToD fasse commencer la période an quotient complet qui vient après x\ la période des quotients incomplets sera
désignons par ^ la fraction continue formée avec ces
/•quotients, et par— celle qui est formée avec les mêmes
6' quolicnls, sauf le dernier. Il est évident que l'inverse -r
*i de la seconde fraction est égal à - — a, et que i*in-
verse — de la première est éeral à -. — a. On a donc
aj "^ " 6a -^ *
g; a — Grt
>/z -l-a')— rtf(
cl par conséquent
^^ a. — Gél,
d'où Ton tire
ai + 6*, = a-+- 6'; on a d'ailleurs
ai G*! — 6i a'i = aG' — 6a' =: it I ,
Ces dernières formules montrent que les valeurs de U| et de t^i , données par les équations (i4)> ^^ changent pas
quand, au lieu d'employer la fraction - qui répond au
quotient complet x', on se sert de la fraction analogue
p relative au quotient complet qui vient après jc'.
Je dis maintenant que M| eti'i sont des nombres entiers ou des fractions ayant pour dénominateur a. La première des formules (i4) montre qu'il en est ainsi à l'égard de
SECTION I. CHAPITBE II. 65
II, ; quant à p'o sa valeur est —7 : soit - ce que devient
cette fraction lorsqu'on la réduit à sa plus simple expression. Le nombre D' est un multiple de g\ ensuite les formules (i3) montrent que 2E' est divisible par g et que 4^^ l'*^st parg2; mais on a vu (n°18) que D' et E'ne peuvent avoir un diviseur commun 0, dont le carré 6^ serait un diviseur de A : il en résulte que notre nombre g est nécessairement égal à i ou à 2. Si g^ est égal à i , i'i est entier, et u^ Test aussi à cause de la formule (i5). Si g est égal à 2, les nombres u^ et r, ont Tun et Taulre le dénominateur 2; en effet, dans Thypothèse où nous nous plaçons, D' est pair, et si u^ était entier, E' serait divisible par 2, à cause des formules (9), et A le serait par 4> à cause de la formule (i5). Or il est permis de supposer, comme nous Tavons déjà dit, que les trois nombres
— » — et -> ne sont pas tous les trois entiers; donc le
nombre U\ ne peut être entier quand i^, est fractionnaire. Ce que nous venons de dire des noml)res u^ et p», a lieu également, quel que soit n à Tégard des nombres Un et Vn* t)n voit immédiatement, par la formule (10), que Un et \'n seront entiers si w, et v^ sont eux-mêmes entiers. Supposons donc que ces derniers nombres aient le dénominateur 2. Si Ton fait successivement w= 2 et 72 = 3, dans la formule (10), il viendra, en ayant égard à la formule (i5),
«2 — f2 V^A = ( 2 1/* zh I ) — 2 «i (', \j\ ,
'h — ^3 y/— (4"î±:3tt,) — (4"î±:i)fi \/Â.
On voit que, si u, et v'i sont de la forme K H — ? K étant
un entier, u^ et i^^ seront de la même forme, tandis que «3
et 1^3 seront entiers. D'ailleurs, si Ton fait w = 3 u. -h v,
S — Alg. sup,f L 5
V étant Tun des nombres o, i, 2, on a
Un — Vn V^Â = (wj,, — V^^ V^) (l/y — C, sfk)y
comme 1*3 et v^ sont entiers, wj^^ et v^^ le sont aussi ; d'ailleurs u^ et \f„ ne peuvent avoir que le dénominateur 2, puisque v est <^ 3 ; donc il en est de même de Un et de v^. On peut même ajouter que les nombres Un et Vn sont tous deux entiers ou tous deux fractionnaires. En efifet, si Ton multiplie l'équation (10) parcelle que Ton obtient
en y changeant y/A en — y/A, on aura, à cause de la formule (i5),
(16) ttj- Ai.J=(±I)^
Il est évident que, si \*n est entier, ii„ Test aussi. Si Vn est fraclionnaire, Un ne peut être entier; car, s'il l'était, A serait divisible par 4, d'après la formule (16) ; alors U| serait entier d'après la formule (i5), et Vx le serait aussi, comme on l'a vu plus haut. Notre hypothèse est donc inadmissible, car Vn ne peut être fractionnaire quand n\ et v^ sont entiers.
Nous avons démontré que les valeurs de u^ et de V\ sont indépendantes du quotient à partir duquel on fait
commencer la période de l'irrationnelle x = —
On peut ajouter que ces quantités sont les mêmes pour
les deux irrationnelles ' "T 5 —^ — ? racines de la
même équation à coefficients entiers. En eflet, d'après les formules (14), les valeurs de u^ et de ^i ne dépendent que de la somme «4-6', puisque la différence aS' — Sa' est égale à dz i . Or, quand on passe de l'irrationnelle
-^— — à rirrationnelie conjuguée dr. — ~ — > les fractions
-î ~, doivent être remplacées respectivement par—, ? —,9
en sorte que les nombres a et S' restent les mêmes ; donc Ui et v^t n'éprouvent aucun changement.
29. Nous allons examiner actuellement ce qui arrive quand on donne à l'entier n des valeurs négatives dans les formules (10), (11), (12). Si Ton change n en — /i. la formule (10) devient
ou, à cause de la formule (i5),
on a donc
(17) tf-n=(±:i)'*««» i^^„==-(=izi)«<v
D'après cela, on aura en changeant aussi 72 en — n dans les formules (12),
j (li:i)«P„„=rrPo«„-(EPo-FQo)r„,
^ ( (±:i)«Q„ = Qoe/«-(DPo-EQo)p„.
Ces formules (18) définissent les nombres (dz i)" P„, [± i)" Q^^n dont les expressions se déduisent respectivement de celles de P^ Q/i par le changement du signe de u,i] en les combinant avec les formules (12) on oblicnt
{:±:i)«P»„-hP„ = 2Poi/„, (=t:i)«Q-«-hQ« = 2Qoi/n;
2u„ étant entier, on voit que P,; et Q« sont comme P/i et Q,, des nombres entiers.
Si ion divise les formules (18) par i^n et que Ton fasse
68 COURS d'algèbhk supérieure.
usage de la formule (i), il viendra
lio) l
OrTéquation (i6) donne
d*ail leurs les nombres Un et ç^^ croissent indéfiniment avec
71 ; donc —^ a pour limite ^\ quand n tend vers rinfini.
On voit alors, par les formules (19), que les valeurs absolues de P;, et de Q^ croissent aussi indéfiniment avec n, et que pour w = 00 on a
Jim = - 5
c'est-à-dire que l'expression — — ^ converge vers l'irration-
nelle conjuguée de .r. Si Ton retranche la seconde équation (19) de la première, après Tavoir multipliée par
•--- . — 5 on trouvera, en faisant usage de la formule (20)»
VA
multiplions cette équation par la seconde équation (19), et faisons ensuite w == oo , il viendra
lia. ( ± . ] > Q-. [p. - ï-:^^ Q..]
Le second membre de cette formule est égal à
-T.J .■■[(dPo-eq.)«-aq;].
