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réduite de ::, et elle sera précédée de la réduite r:77-
Il faut pour notre objet prendre le quotient complet^ égal à ::' ; par conséquent, pour que la fraction —7 ou
QoS'-Q;r'
soit une réduite de :? répondant au quotient complet qui précède z\ il peut être nécessaire d'employer deux pé-
riodes de quotients, au moins, pour former la fraction -;;•,
mais deux périodes suffiront toujours si k est supérieur à I . Lorsque k est égal à i , la période se réduit à un seul
terme a ; les rapports —7 et j^ seront positifs si Ton prend - rr: a H — 9 Cl il cst facilc de vérifier que ces mêmes rap-
o Cl
ports seront supérieurs à i , à moins que Ton n'ait a = i. Dans ce cas particulier d'un seul quotient égal à l'unilc, il est nécessaire d'introduire trois quotients au moins
dans la réduite - •
Désignons par —^ la valeur de l'expression précédente, lorsqu'on emploie n périodes de quotients pour former -■ ^ on aura, en remplaçant F^ et Q', par leurs valeurs
SECTIOn I. CHAPITRE II. ^3
tirées des formules (6),
ou, en éliminant Pj et Qj par le moyen des formules (i i),
Ç„ = P, ^S' -t- —^ R' j - (EP, - FQo) j R'.
^„=Q, U' + '^^ K'\ (DP,-EQo) ^ R'.
R' D'après notre hypothèse, -p- est une réduite de z' qui ré-
pond au dernier quotient de la n'^™® période ; d^ailleurs
— est la réduite qui répond au même quotient pris dans
la première période; donc les valeurs de R' et de S' seront données par les formules (12), si Ton y remplace
Po et Qo par 6 et 6', D, E, F par ^^^\ E', — D', et
<]u'on écrive n — i au lieu de n ; on a ainsi
En faisant usage des formules (i3) et (i4), ainsi que des relations
qui résultent de l'identité
74 coDus d'algèbre supékieueb.
on obtient les valeurs suivantes de R' et S' :
R = 7 «'/,, S' = if„ v^.
Les expressions précédentes de ?« et de Ç^ deviennent ensuite
*n = Po««-(EPo-FQo)r„,
?.,. = Qo"«~(DPo-EQo)p„, et par conséquent on a
ce qui démontre bien que, pour les valeurs de n supérieures à I , les fractions -r^ sont les réduites qui répon-
dent aux quotients complets précédant les quotients égaux à z' dans les périodes successives de la fraction continue z. Il faut remarquer que la première des ré-
duites -— ^ f savoir — ^ ? peut répondre à un quotient com-
pris dans la partie non périodique.
31. Le cas de 71 = I constitue une exception; la fraclion 7^ peut être une réduite de z ou de x, et dans ce Q-i
dernier cas elle répond toujours à un quotient compris dans la partie non périodique; il peut arriver aussi que
la fraction j^ ne fasse partie des réduites d'aucune des
fractions continues x et ::.
Le cas de n= i fait lui-même exception, comme nous l'avons déjà dit, lorsque les périodes de a: et de z se réduisent à un seul quotient égal à l'unité. L'équation
5 jr* — 20^ -h 3 1 = o
en offre un exemple. Les deux racines soni
— lO lO '
les réduites --^ de x qui répondent aux quotients pério-
diques sont données par les formules
On tire de là
Po 7 £i 9 h — 1^ ÎJ-^ E*— il Qo'S' Q,~-'V Qa~7' Qi~^' QI"T8' "'
puis, en donnant à n des valeurs négatives,
R-t 2 fz:2 5 ^__^ P,4__8 Q-i""i' Q-t^a' Q-3~i' Q-4"'3'
Dans cette dernière suite, la deuxième fraction n*est une réduite pour aucune des deux racines a: et z; la première et la troisième fraction sont des réduites de z qui répondent à deux quotients de la partie non périodique, et ce n'est qu'à partir de la quatrième fraction que commencent les réduites relatives aux quotients périodiques.
Cas de la racine carrée d'un nombre entier.
32. On a, dans ce cas, E = o, D = i,F = — A et la formule (i i) se réduit à
Pn - Q« V^Â = (Po - Qo \/Â) {un - i'n v'Â).
Supposons que nos réduites — ^ soient celles qui répon-
76 couBS d'algèbre supérieure.
dent aux quotients complets égaux à a -h ^A, a étant
le plus grand entier contenu dans ^A. Alors le premier terme de la période des quotients incomplets sera 2a; on aura
7r — ^ — <^^ d'où Poi=a — 6«, Qo = e;
en outre, comme on a ici E'= «, D'= i , les formules (9} donneront
tt, = a — 6o=:Po, Pi=r6 = Qo; on aura donc
Exemple, — Soit A = 7. La période des quotients incomplets qui viennent après le premier quotient 2 est I, I, I, 4} 1^ réduite qui répond au dernier quotient de
cette période est ^ • Posant donc Po = 8, Qo = 3 on aura
d'où
Pi-Qiv/7 = '27-48v/7, Pj — Q2 "(î — 2024 — 765 v/7 , P3— Q3 V 7 ~ 32257 — 12192 v7,
33. On peut conclure de ce qui précède une propriété des réduites qui répondent au dernier quotient complet dans les périodes successives du développement de la racine carrée d'un nombre entier. On a effectivement
P„i - Q„-., n/Â == (Po - Qo v'Â)'*,
P2U-1 - Q2n-1 \^Â = (Po - Qc f^T\
SECTlOUr I. CHAPITRE II. 77
égalité qui se décompose dans les deux suivantes :
Si l'on désigne par X„ la réduite qui répond au quotient a 4- y^Apris dans la w**"° période, on aura
n — X ' -^in — 7^ '
et les formules précédentes donneront
d'où il suit que la réduite lL2n est la moyenne arithmé-
A tique des deux quantités X„ et- ? dont la moyenne
géométrique est y/Â. La formule précédente peut encore se mettre sous la forme
va A
et îl en résulte que la réduite Xo^ est précisément la valeur approchée de yjA. à laquelle conduit la méthode d'approximation de Newton dont il sera parlé plus loin, quand on prend X/j pour une première valeur approchée.
Sur l'application de la théorie des fractions continue • à l* analyse indéterminée du deuxième degré,
