D'après ce qui précède, si les équations indéterminées
dans lesquelles A désigne un entier positif non carré, et
où II est un entier inférieur à yÂ, admettent des solutions entières, ces solutions seront toutes fournies par le développement de y/A en fraction continue. Par conséquent, si le nombre H ne figure pas parmi les dénominateurs des quotients complets qui forment la première période, aucune des deux équations précédentes n'admettra de solutions.
Le dernier quotient de chaque période ayant l'unité pour dénominateur l'équation
admet toujours des solutions entières; il en est de même de l'équation
quand le nombre des quotients de la période estQkpair. Mais, lorsque le même nombre est pair, l'équation précédente n'admet aucune solution entière.
Considérons par exemple l'équation
J^ — 7.C) 3^ r:= ziz H ;
en développant y/s»^ en fraction continue, on trouve les quotients incomplets
La période se compose de cinq quotients, et l'équation proposée admettra des solutions si H est égal à l'un des
TO
nombres i, 4> 5. En particulier, comme -^ est la réduite
qui répond au dernier quotient de la première périodCi on voit que les solutions des deux équations
seront données respectivement par les formules
si l'on fait /z = I dans la dernière formule, on obtiendra les plus petits nombres qui satisfont à l'équation
savoir
^ = g8oi, z=i820*
86 couns d'algèbre supérieurb.
