PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES
Des expressions imaginaires.
37. Conformément à Tusage adopté, nous représenterons par i l'imaginaire y — i , et nous appellerons expression imaginaire toute expression de la forme
A-hB/,
où A et B sont des quantités réelles, positives, nulles ou négatives.
Quand nous saurons d'avance que deux quantités réelles A' et B' sont respectivement égales à deux autres AetB, nous dirons que les expressions A -+-Bi et A' H- B'i sont égales.
Il est évident que, si Ton a plusieurs égalités de la
forme
et qu'on les multiplie membre à membre en opérant comme si i était une quantité réelle, on obtiendra une égalité dans laquelle les coefficients des mêmes puissances de i seront égaux; l'égalité subsistera donc quand on rabaissera les exposants de i au-dessous de 2 en faisant usage de l'équation i^ = — i .
Considérons l'expression imaginaire A-f-Bi; on peut
toujours trouver une quantité positive p et un arc a tels
que Ton ait
A = p cosa, B,= p sina.
En effet, il sufïit de prendre
puis
cosa z=z ___^^=^- 9 sina = — — 1
par conséquent, on peut écrire
A -+- B/ = p cosa -4- /p sinû
ou, si Ton veut
A-hBi = p (cosa -h i Hua).
Quand une expression imaginaire est ainsi ramenée à la forme p (cosa -h i sina), la quantité positive p est dite son module; Tare a est son argument.
Le module d'une expression imaginaire donnée est déterminé, mais l'argument ne Test pas entièrement; car une expression imaginaire ne change pas quand on ajoute à son argument ou qu'on en retranche un nombre quelconque de circonférences.
Les quantités positives et négatives peuvent être considérées comme des expressions imaginaires dont le module est égal à leur valeur absolue et dont l'argument est un nombre pair ou impair de demi-circonférences ; car soit A un nombre positif, on a, quel que soit l'entier Â",
-f- A = A (cos2X'7r -4- isinaX'Tr),
— A = A[cos(2^ -4- i)ir -4- /sin (aX- -h i)ir].
Pour que deux expressions imaginaires soient égales, il faut et il sufût que leurs modules soient égaux, et que
88 COURS d'algèbre super lECRE.
leurs arguments diffèrent d'un multiple de la circonférence. Supposons, en effet, que les expressions
p ( cosa -\- i sina ) et p! ( cosa' H- f sina' )
soient égales ; on a
() cosa = p' cosa', psinû = p' sina',
et, si Ton ajoute ces équations, après les avoir élevées au carré il viendra
p' = p'' et p = p';
les modules étant égaux, les' arcs a et a' ont même sinus et môme cosinus ; donc ils ne peuvent différer, s'ils sont inégaux, que par un multiple de la circonférence.
Les arguments de deux expressions imaginaires conjuguées, telles que A~hBi et A — Bi, ont même cosinus, tandis que leurs sinus sont égaux et de signes contraires ; la somme de ces arguments est donc égale à un multiple de la circonférence.
38. Théorème. — Le produit de deux expressions imaginaires est une expression imaginaire dont le mO" dule et l'argument sont respectiv^ement le produit des modules et la somme des arguments des facteurs.
Considérons d'abord deux expressions imaginaires cosa -f- i sin a et ces b -h i sin b
ayant l'unité pour module. Si Ton effectue leur produit, il viendra
(cosa -f- /sin a] (ces 6 -h /sin 6)
= cosacos^ -f- / (sinacos^ H- cosa sin^) -+■ i^sinasin^i
ou, à cause de i* ==. — i
(cosa -h isina) (cosb -t- /sin^)
= (cosacos6 — sinasln^] h- i(sïnacosb -f- cosasin^);
or nous savons que Ton a
cosacos6 — sina sïnb = cos(a -f- b)^ sinacos^ -h cosasin6 = sin (« H- ^);
en peut (Jonc écrire
{cosa-hisma) [cosb -h /sin6] = cos(a-l- b) -+-/sin(a -4- b).
Soient maintenant jo(cosfl -h isîn a), |o'(cosi 4- isini)
deux expressions imaginaires ayant respectivement pour modules o et p'; on a
p(cosa -T- /sina) X p' (cosb -t- /sinô) = pp' X (cosfl -4- / sina) (cos6 -4- isinb)^
ety par conséquent,
p (cosa -^ i sina) Xp' (cosb -f- /sin6) = pp' [cos(a -h ô ) H- I sin ( a -+- ô ) ].
Corollaire I. — Le quotient de deux expressions imaginaires est une expression imaginaire dont le module et l'argument sont respectiv^ement le quotient des modules et la différence des arguments du dividende et du div^isew\
Car soient les deux expressions
p (cos« -f- isinrt) et p' (cos6 -h/sinô);
on a
^ [ces (a
X p' (cosb 4- isinô) = p (cosa -h /sina]; d'où
r v — . . ' =±j [ces a — b) -4- i sin (a — b)\, p' (cosb '\- i sinb) p^ ^ '
Corollaire II. — Le module et l'argument du pro*
^ [ces (a — b) -f-/sin(a— b)"] ?
duit de tant d'expressions imaginaires que l'on voudra sont égaux respectiy^ement au produit des modules et à la somme des arguments des facteurs.
En effet, pour multiplier les deux premiers facteurs, on multiplie leurs modules et Ton ajoute leurs arguments. Pour multiplier ce produit par le troisième facteur, il faut multiplier son module par celui du troisième facteur et ajouter à son argument celui de ce troisième facteur, et ainsi de suite.
Corollaire III. — Pour élever une expression imaginaire à une puissance entière et positive de degré /n, il faut élever le module à la puissance m, et multiplier l'argument par m.
Cela résulte immédiatement du corollaire II, en supposant égales entre elles toutes les expressions imaginaires que Ton y considère.
Soit, en particulier, cosa 4- sina une expression imaginaire de module i ; on a
[cosa H- isina)'" = cos/wû -+- /sin ma.
C'est dans cette égalité que consiste la formule de Moivre.
39. Le module de la somme de deux expressions imaginaires est compris entre lu somme et la différence des modules des parties.
En effet, soient les deux expressions imaginaires p (cosa -h /sina), p' (cosa' -h /sina'), et posons R(cosA4-/sinA) =p(co8a-|- /sina) H-p' (oosa' -f^/sina'];
SECTION I. CHAPITRE III. Ql
on aura
R cosA = p casa -h p cosa\
R sin A = p sin a -4- p' sin a' ;
si l'on ajoute ces égalités après les avoir élevées au carré et que Ton extraie la racine carrée des deux membres de Tégalité résultante, il viendra
R z= v^p' -f 7 pp' cos ( a — a' ) -h p'^;
on a donc
K<\/fJTiY^ ou <p-+-p',
Ji>y/(i^^^ ou >±(p-p')
Il résulte de là que :
Le module de la somme d'un nombre quelconque d'expressions itnaginaires ne peut surpasser la somme des modules de ces expressions.
Des fonctions entières,
