FORMULES GÉNÉRALES RELATIVES A LA THÉORIE DES FONCTIONS SYMÉTRIQUES
Formule de Lagrange,
194. Lagrange a fait connaître , dans les Mémoires de l' Académie de Berlin pour 1768, et plus tard dans le Traité de la résolution des équations numériques , iVote XI, une formule remarquable qui donne immédiatement l'expression de la somme des puissances semblables, d'un degré quelconque, des racines d'une équation. Nous allons établir ici cette formule en supposant avec l'illustre auteur que l'on ait mis l'équation proposée sous la forme
u désignant une constante ety^(a:) étant une fonction
entière
Ao -H Ai^ -h A, x' -H A3X' 4- . . . ,
dont nous représenterons la dérivée pary^(j:), conformément à l'usage ( * ).
On sait (n° 172) que, si a, &, c, . . . , /sont les racines de l'équation (i), la somme
H- -rrr-. -+- -rr. .- -f- • • • H"
n-^\ ' ^«-Hl c«-*-* //«-f-l
(') Dans ce Chapitre et dans les suivants, nous supposerons connus les principes fondamentaux du Calcul différentiel et du Calcul intégral, et nous ferons usage des notations généralement admises pour représenter les dérivées et les différentielles,
aS.
436 COURS d'algèbre SUPéniEURE.
sera le coefficient de x'*^ dans le développement de la fonction
en série ordonnée suivant les puissances croissantes de .r. Soit la fonction plus générale
où y (x) désigne un polynôme ayant pour valeur
et cherchons le coefficient de x" dans le développement de cette fonction. Si Ton commence par développer suivant les puissances croissantes dey(j:), il viendra
^ ' u—x-\-f[x) a — j: (k— jt)* (a — arj»
et la série contenue dans le second membre de cette formule sera convergente pour toutes les valeurs de x telles
que le module de ^' soit inférieur à l'unité. * u — .r
Considérons d'abord le premier terme du second
membre, on a
// — jr u u^ w
et, si Ton multiplie de part et d'autre par le polynôme (p(j:), on trouvera que le coefficient de x" dans le développement de -ÏAllL a pour valeur
Bo . B| B, B„
OU
Bo4-BiW-+- Bj «*-+-. . .-+-B„if*
tt«+i -*
en sorte que ce coefficient pourra être représenté par
pourvu qu^on ne retienne que les termes qui contiennent u en dénominateur.
Considérons maintenant un terme quelconque du second membre de Téquation (2), celui qui contient la puissance * de f{x) et qui a pour valeur
D'après ce qui a été dit plus haut, le coefficient de x'* dans le développement de
est égal à
un-^i
pourvu qu'on ne retienne que les termes qui contiennent u en dénominateur. On a donc , avec cette restriction ,
y(x)[/(x)1-Vy(«)[/{t>)y„
U — je y . M*n-hi
le signe \ s'étendant à toutes les valeurs entières null<'
ou positives de n. Et, comme la dilTérentiation relative à u ne peut introduire de puissances négatives de u dans les termes qui n'en contiennent pas, on aura, en prenant les dérivées d'ordre i des deux membres de l'égalité précédente,
d'où il suit que le coefficient de x^ dans le développement de
, ,wy(^)[/(^)?
sera représenté par l'expression
