V .-^ (a — by[a — cy. . . (X- — /)î et

V sera le produit des carrés des difi<érences de racines de Tcquation (i\ prises deux à deux, et V| le produit des carrés des différences des racines de l'équation

ou

Cela posé, on a

V r= Vi (« — b)^a - c)« . , . (û - A)^a - /)«.

Mais le produit [a — f^) {a — c). . .{a — Â) (a— I) est égal (n** 49) à la valeur que prend la dérivée du polynôme X pour x = aj c'est-à-dire égal à

ilonc on aura

V = Vi [ma'"-* H- (m — i)/7i a'"-* -!-... -^p^^x]^-

D'après cela, si nous admettons qu'on sache former la valeur de la fonction V pour une équation de degré m — I, on pourra également trouver la valeur de cette fonction pour une équation du degré m. Eflcctivcmcnt, i)ar hypothèse, on sait exprimer la valeur de Y\ par les coefficients de Téquation (2), c'est-à-dire en fonction de à et des coefficients de la proposée ; donc la fonction V pourra elle-même être mise sous la forme d'un polynôme ordonné par rapport aux puissances de a, et, en divisant ce polynôme par le premier membre de l'équation proposée, dans lequel on aura remplacé x par rr, le reste de la division donnera la valeur cherchée de V. Or on sait calculer la fonction de V pour une équation dn deuxième degré ; on pourra donc calculer cette fonction pour l'équation du troisième degré, puis pour celle du quatrième, et ainsi de suite.

Cas de V équation du troisième degré. — • L'équation

proposée est

et Ton a

V —(a - bY[a — cY{b — r)»,

s. — j4lff, sup,, 1. aC

4f>2 COURS D^LGEBRE SUPÉRIEURE.

Vj étant relatif à Téqualion du deuxième degré,

pa a»

On a immédiatement

d'ailleurs

[a — ^) (a — ^)^= 3a* -f- 2.pa -f- q^

par suite ( — 3tf' — 2/7a -h/?* — 4^)(3<^*'^~ 2/?a -4- qY

: — 27 a^ — 5^pa^ — 27/?*

rt'-h4/'* —279*

Divisant cette valeur de V par a* -H p^* 4- ya -}- r, on trouve pour quotient

— 27a^— 27/?a'— 2'jqa -4- (4/^*"+" ^7'' — ^^Pj)t et pour reste

— 4^' — 27/* -4- l8pqr-hp^q^ — 4/^''"»

ce qui est précisément la valeur de V que nous cherchons. On trouvera dans le Chapitre suivant une méthode ])lus expédilive pour résoudre la môme question.

Formation de l'équation de laquelle dépend une fonction rationnelle et non symétrique des racines d'une équation donnée.

180. Soient a, A, c, ..., A", /les m racines d'une équation donnée X r=: o, et

V = F(éz, b, c,.. .)

une fonction rationnelle donnée de ces racines, ou de quelques-unes d'entre elles. La théorie des fonctions syniélriques conduit à une méthode très-simple et trèsélé*;anlc pour former Tcquation dont V dépend. Nous allons développer ici cette méthode.

Si la fonction V contient n des m racines, le plus grand nombre de valeurs qu'elle puisse prendre quand on échan^^c les lettres a, h, c, . . . , h, l les unes dans les autres, de toutes les manières possibles, sera évidemment éfjal au nombre des arrangements de m lettres // ù rij cV'st-à-dire égal à

Mais il peut arriver que le nombre des valeurs distinctes de V soit beaucoup moindre ; nous désignerons par ^l co nombre de valeurs, et par

les fjt valeurs de V. L'équation en V sera alors

(V-VO(V-V,)...(V~V,)=:o ou

\>-h Pi Vi^» 4- P, \>-* 4- ... -h P^-i \ n-V^~ O,

en posant

ViV,-+- = Pî,

ViV, v,=z:.;-,)«^P,.

Or le§ quantités P|, P2, . . ., P,i sont des fonctions svmétriques des quantités V|, V2, . . . , et, par suite, elles sont aussi des fonctions symétriques des racines a, 6, c, • . . de l'équation proposée ; on pourra donc calculer les coefficients de l'équation en V par Tune des méthodes que nous avons exposées.

4o4 COURS D^ALGEBRE SUPÉRIEURE.

Nous avons admis comme évident que toute fonction symétrique des quantités V|, Vj, . . . est aussi une fonction symétrique des racines rt, /^, c, .... Voici, au surplus, un moyen très facile de le démontrer.

Par hypothèse, les quantités

(i) Vi, Vj, • • . , Vj4

sont toutes distinctes, et ce sont les seules valeurs que V puisse avoir. Faisons subir aux lettres

une permutation quelconque, et supposons que Vf se change en V',, V2 en V,, ... ; les quantités

devront toutes se trouver dans la série V| , V2, . . . , puisque cette dernière comprend toutes les valeurs de V; je dis, en outre, que tous les termes de la série (li) sont rlilTérents, et que, par suite, cette série coïncide avec la série (i) : on ne peut avoir, par exemple, V, =V'j, car V| et V2 ne diflèrent de V, et \\ quVn ce que les quantités dont ces fonctions dépendent y sont désignées par dos lettres différentes, et Fégalité V, = V, entraînerait, en conséquence, V< = Vo, ce qui est contre riiypolhèse. Il résulte de là que, si Ton fait subir aux lettres a, /;, Cy ... un changement quelconque, les quantités V^, Vo, .... ne feront que s'échanger les unes dans les autres; par suite, une fonction symétrique de ces fonctions ne sera pas changée, et elle sera aussi symétrique relativement aux quantités «, i, c, . . . , A", /.

On peut, dans bien des cas, simplifier le calcul de ré((uation en V; on en verra un exemple dans la recherche de Téquation qui a pour racines les carrés des différences des racines d'une équation donnée, prises deux à deux.

Equation aux carrés des différences,

181. Soient toujours a, b, c, . . . , A", / les m racines de Téquation X = o, et posons

l'équation en V sera du degré — = /x, qui est le

nombre des coml)inaisons de m lettres deux à deux., puisque la fonction V est symétrique par rapport aux deux lettres qu'elle contient. Soit

cette équation, dans laquelle les coefficients Pi, P^/. . . sont des fonctions symétriques des racines de l'équation proposée. Les valeurs de P^, P^, . . . seront données par les 'formules de Newton, si l'on connaît les sommes des puissances semblables S|, Sa, . . . , S^ des racines de l'équation en V; tout est donc ramené à calculer ces dernières sommes en fonction des coefficients de l'équation proposée, ou en fonction des sommes ^i, .^a, ... des puissances semblables de ses racines, puisque les sommes .v|, ^2, ... s'expriment par les coefficients, au moyen des formules de Newton.

Voici le procédé indiqué par Lagrange pour calculer les sommes Si, So,' . . . relatives à l'équation en V, au moyen des sommes 5|,5a, ... qui se rapportent à l'équation proposée.

Posons

si l'on donne à x successivement les valeurs a, 6, c, . . . ,

4o6 coxiBs d'algèbre supékieure.

A\ /, et que Ton ajoute tous les résultats, on aura

^^rt) -^ç(^)"l-... 4-^(0 =(û — ^)"* 4-... -+-(« — /)«*

Or le second membre de cette équation est évidemment égal à 2 S;, ; donc

D'un autre côté, en développant les différents termes de f{x)y on trouve

-t .rî« — 7/ii, x'«-» -f- ^!Lil!L il ^«x»»-» — ...+*«'

ou

Remplaçant x successivement par a^ b, Cy , . . , l„ et ajoutant tous les résultats, on aura la valeur suivante de (p(a) -|-<:f(i) H-, . .-h ç(/) ou de 2S;i :

2 S„ ~ mSi„ — 2 «.Vi .?,„! H ^ .V, 5,„, — . . . -f- mSin-

Les termes à égale distance des extrêmes sont égaux dans le second membre; par suite, on a cette valeur de Sn,

1 in 'y.n — i) . . .{n -h i)

En donnant à n les valeurs successives i, 2, 3, . . . , p, on connaîtra les sommes S| , S2, . . . , S^ dont on a besoin ; on achèvera ensuite le calcul, comme nous l'avons indiqué précédemment.

Cas de l'équation du troisième degré, — Prenons pour exemple Téquation du troisième degré

x' -♦- px^ -h ^.r -h r = o

et soit

V»-4-PV«-hQV-i-R=:o

Téqualion aux carrés des différences.

On trouve

s. -p'— iq,

^4 ^^ P^ — ^P' q -"r- ^pr -h 2 7*,

^5 ■■= —p^ -h 5p^ q — 5/>' r — 5y?7* 4- 5 qr,

Vgr p^—(jp^q ..|-6/?^r4-9/?'<7'— lipqr -— 25*-*- 3r*,

puis

s, ^ 3^4 — 4.^1 ^3 -^ 3jfî — 2/?* — iip^q 4- 187',

1- 2;>'^--i8/?*<7- i2/?^r-i-57y7»y' H- 54/?7r— 66g»— Sir*, et cnlin

P rzr - Si ^ — 2/?« -+- 67,

n -S -^ PS, / ^ ,

S -h PS -i-OS R— 4 ^ =4pV— /^V — '8/?7r4-47*-+-27'*.

On suivrait une marche toute semblable pour former

^^^S couBs d'algèbre supérieure.

rtMiiation aux sommes deux à deux des racines d^une i\]uation donnée.

Sur la J'arme des Jonctions rationnelles d'une ou de plusieurs racines d'une équation.

182. La méthode générale dont nous venons de nous occuper s'applique avec le même succès, que V soit ou non une Ibnclion cnlicre des racines a, &, c, . . . ; raab on peut facilement démontrer qu'une fonction rationnelle d'une ou de plusieurs racines d'une équation peut toujours, si elle n'est pas entière, être remplacée par une fonction entière équivalente.

Nous commencerons par établir le théorème suivant, relatif aux fonctions rationnelles d'une seule racine :

Théorème. — Toute fonction rationnelle et non eiitivrc d'une racine a d'une équation

de. degré m est équiv^alente à une fonction entière d'un dcifré injcrieur à m.

Soit, en effet, la fonction rationnelle — — r? où o et d

désignent (les fonctions entières; on aura identiquement

h, c, , . . , /désignantles autres racines de l'équation (i). Le dénominateur i{;( a) ^[h) , . . ^[l) àw second membre est une lonclion symétrique et entière des racines de l'é- (jualion (i), cl il peut en conséquence s'exprimer rationlullernent [>ar les coefficients de cette équation. Pareillonieiitlc lactcur 'K^) ^(c) . . . ^(/) du numérateur est une

fonction symétrique et entière des racines de Téquation

=rO,

et on peut rexprîmer sous forme rationnelle et entiùrc, en fonction des coefficients de cette équation, c'est-à-dire en fonction de a et des coefficients de l'équation (i). D'après cela, l'égalité (2) prendra la forme

OÙ 0(rt) désigne un polynôme entier et rationnel par rapport à « . En ôfiec tuant le produit des polynômes cp et 6», notre fraction deviendra

-I — Ao-f- A.«-f-A,û* H-. . .-f- Aulrt^

et je dis qu'on peut supposer le degré fx inférieur à m. En effet, de réquationy(a) = o on peut tirer la valeur de aP^ qui sera exprimée par un polynôme du degré m — i ; en multipliant par a cette valeur de a'^, on aura a'"'*'* , qui sera exprimée par un polynôme du degré m, mais qu'on pourra abaisser au degré m — i, en remplaçant aP^ par la valeur trouvée précédemment. En continuant ainsi, on exprimera chaque puissance de a, à partir de la w*®"*, par un polynôme du degré m — i , et, par suite, on pourra chasser de l'expression de Y'i — ^^ nous avons trouvée toutes

les puissances de a supérieures à la {in — i )**"*. Mais on peut aussi opérer comme il suit : si \k est > /n, on divisera le polynôme Aq 4- A^ a -i-. . . pary(a), et en désignant par Q le quotient, par cj(a) le reste qui est de degré inférieur à w, on aura

■f-""- = A 0 4- A 1 fl -h . . . = / ( û ) >. Q -i- o ( a ) ;

4lO COURS d'algèbre SUPÉRIEUmE.

d'ailleurs y(a) élant nulle, on aura simplement

où n désigne un polynôme de degré m — i au plus.

183. Quoique la démonstration précédente ne laisse rien à désirer sous le rapport de la rigueur et de la clarté, nous en présenterons une seconde qui aura Favantage de nous fournir un procédé plus facile pour trouver la forme entière qui convient à une fonction fractionnaire donnée.

Soit toujours — — - la fraction donnée, a étant une racine ,

def(sj = o. On peut supposer ^(a) de degré inférieur àiîi: car, si le contraire avait lieu, on ferait disparaître de '^v^) les puissances de a supérieures à la (m — i)**"* par l'un des procédés indiqués précédemment.

Cela posé, opérons sur les polynômes f{a) et ^(a) comme s'il était question de trouver leur plus grand commun diviseur; on aura cette suite d'égalités

où Un ne contient plus la quantité a. Or, y(a) étanl nul, on uura

R3 = -TQ,^-Q, -Q,Q,Q,)^(a),

la dernière de ces égalités sera de la forme

6 {a) désignant un polynôme entier et rationnel par rapport a Uy et Ton en tire

on a donc

Cette valeur de ~ — - est entière par rapport ka, puisque

Rn ne contient pas a, et, si elle renferme des puissances de a supérieures à la {m — i)'*"*, on pourra les faire disparaître par Te procédé que nous avons indiqué au nO 182.

A la vérité, cette méthode semble en défaut dans le cas où les polynômes ^ (x) clf{x) ont un diviseur commun ; car, dans ce cas, la quantité designée par R„ est nulle, ainsi que B[a) : mais alors on pourra enlever dey(:r), par une simple division, tous les facteurs linéaires qui sont dans ^(x), et parmi lesquels ne se trouve pas x — a, car autrement v}» (a) serait nul. En désignant paryi(x) le résultat ainsi obtenu, a sera racine àc fy^[x) = o, et le polynôme ^{x) étant dès lors premier ayec/t (x), on pourra appliquer la méthode.

Il résulte de ce qui précède que la fonction rationnelle la plus générale d'une racine d'une équation de degré m est une fonction entière du degré m — i, renfermant par conséquent m coefficients arbitraires.

Exemple. — Toute fonction rationnelle d'une racine ^ï de l'équation du troisième degré

peut être mise sous la forme

4i2 couns d'algèbre SUPéRIEUaE.

mais il est souvent préférable de prendre une forme fractionnaire dans laquelle les deux termes soien t linéaires, el cela est toujours possible; car, si Ton divise l'un par l'autre les polynômes a' -+- pa^ -+- ya -+- r el Cà^ 4- Ba -+■ A, dont le premier est nul, on aura un quotient et un reste du premier degré en a, d'où il résulte que la fonction

A 4- Ba -f- Ca^ peut être mise sous la forme =^*

184. Extension aux fonctions rationnelles de plusieurs RACINES d'une ÉQUATION. — La méthodc précédente a surtout l'avantage de pouvoir être appliquée aux fonctions rationnelles de plusieurs racines d'une équation. On a, en effet, ce théorème :

Toute fonction rationnelle non entière de plusieurs racines d'une équation peut être remplacée par une Jonction entière des mêmes racines.

Rien ne sera changé à nos raisonnements, si la fonction 7-7 — r> que nous avons considérée, renferme d'autres

racines A, e, ... de réquationy(j:) = o, et cette fonction pourra se mettre sous la forme A© H- A^ a H- ... , Aq et A| étant des fonctions rationnelles de racines parmi lesquelles ne se trouve pas a, A leur tour, on pourra rendre ces fonctions Aq, Ai, . . . entières par rapport à une autre racine b^ puis par rapport à une troisième, et ainsi de suite.

Méthode d'élimination fondée sur la tliéorie des

fonctions symétriques.

I80. Parmi les applications que l'on peut faire delà théorie dus fonctions symétriques, on doit regarder comme Tune des plus importantes la méthode d'élimination que nous allons exposer.

Considérons deux équations, des degrés m et n respeo-

dECTIOrr II. 'CHAPITRE i. 4^3

livementy contenant deux ou un plus grand nombre de variables x, j^, ... et entre lesquelles il s'agit d'élimioerj^. Nous supposerons ces équations complètes, et leurs coefficients entièrement indéterminés, et, les ordonnant par rapport àj^, nous les représenterons par

(2) f -4- <?!/'*-* 4- 717""* -f" . . . -H qn-\y -^qn—o.

Les coefficients p\, p^y • • • ? ?i> ?27 • . • sont des fonctions entières de x, etc.

Désignons par a, i, c. . . . , Â , / les m racines de Téquation (i) ; ces racines dépendent de x et des autres variables, s'il y en a; en les substituant à^, dans le premier membre de Téquation (2), on aura les m résultats

f. û« -f- q, a"-» -f- çirt"-» H- . . . -t- ^„, a H- q^, h'^ 4- ^, &«-» -f- ^, 6«-« -4- . . .H- ^„,^ -4- ^^, (3) {cn-^-qi C*-^ -f- qtC^^ H- . . . + q^^y^ C -}- q^.

Cela posé, si Ton forme le produit de tous ces résultats, et que l'on désigne par V ce produit, il est facile de voir que

sera l'équation finale résultant de l'élimination de r entre les deux équations proposées. En effet, l'équation finale qui résulte de l'élimination àey entre deux équations est simplement la condition nécessaire pour que ces deux équations aient une racine commune, et il est bien évident que la condition nécessaire et suffisante pour que les équations (i) et (2) aient une racine commune est que l'un des résultats (3), ou leur produit V, soit nul.

D'ailleurs, V est une fonction symétrique et entière des racines de l'équation (1), qui contient, en outre, rationnellement les coefficients de l'équation (2); on pourra

«il 4 COURS d'algèbre sopériedrb-

donc exprimer cette fonction rationnellement par les coeflîcients des équations (i) et (a).

186. La méthode précédente conduit facilement an théorème de Bezout, relatif au degré de réquation finale.

Nous supposerons, comme précédemment, que les deux équations ( i ) et ( 2 ) , Fune du degré m, l'autre du degré /i, soient complètes, et que leurs coefficients soient dans une complète indépendance. Alors les quantités pi etfi sont des fonctions entières du premierdegré par rapport aux. variables x, ... qui figurent dans les équations proposées; pareillement, p2f f/2 sont du deuxième degré, cl, en général, le degré des coefficients de^ dans les équations (i) et (2) sera indiqué par leur indice. Cela posé, je dis que :

Le degré de l'équation finale qui résulte de l'élimination d'une variable j, entre deux équations complètes dont les coefficients sont indéterminés et indépendants les uns des autres, est précisément égal au produit des degrés des deux équations.

Considérons, en effet, un terme quelconque du produit des expressions (3), par exemple

ce terme se trouvera dans V, ainsi que la fonction symctriquc dont il fait partie. V est donc la somme d'expressions de la forme

en observant qu'il faut remplacer q^-^ par 1 , si a = n, et de même pour les autres. Or, d'après ce qui a été dil plus haut, le facteur qn-^q„^ç. . .^n-A ®st du degré

[H — 3t)4-(w — 6)-|-...-h(/2 — X)oum/i — (a-h-6-H ... -hî.)

SECTIOW II. — CHAPITRE I. 4 '5

par rapport aux variables a:, ... ; si donc nous faisons

voir que le second facteur \ a^b^ . . ./^ est, par rapport

à ces mêmes variables x, . . . , du degré a -f- 6 -+- . . . -,- ^, il s'ensuivra que le terme de V que nous considérons est du degré m/i, et que V est lui-même de ce degré. Les coefficients i7|, p^j ... de Téquation (i) étant, j)ar rapport à X, . . . , d'un degré égal à leur indice, il en sera de môme des sommes de puissances semblables 5|, s^, ... de ses racines; cela résulte immédiatement des formules de Newton. Ainsi le degré d'une fonction symétrique simple telle que 5. est le même, soit que Ton considère .v« comme fonction de a, &, . . . , soit qu'on la considère

comme fonction de x, .... Enfin, \ a*i*. . P" peut

s'exprimer en fonction des sommes s^ par une formule entière qui est du degré a -r- 6 -i- ... 4- A par rapport aux racines a, ft, . . . , et qui est, par conséquent, aussi du même degré par rapport à x, . . . . Le théorème est donc démontré.

Nous avons admis comme évident que les termes de degré mn, qui se trouvent dans V, ne peuvent se détruire, tant qu'on laisse indéterminés les coefficients des équations (i) et (a). On peut, au surplus, mettre ce fait hors de doute en se référant, comme nous l'avons fait au u^l\ , au cas particulier de deux équations dont les premiers membres sont décomposables en facteurs linéaires.

187. Si les coefficients des équations (i) et (2) ont des valeurs déterminées, on pourra toujours leur appliquer le raisonnement du n^ 185, pourvu que ces équations

contiennent la plus haute puissance de l'inconnue qu'on élimine. On est ainsi conduit à la proposition suivante, (jui est générale :

.{i6 COURS d'àlgèbrk supérieure.

Le degré de l' équation finale résultant de l'élimination d'une inconnue entre deux équations qui en con* tiennent plusieurs est au plus égal au produit des degrés de ces équations*

Ce dernier théorème subsiste lors même que les équations proposées manquent de la plus haute puissance de rinconnue qu'on élimine.

Soient, en eflct, deux équations entre deux variablesx et r, ayant respectivement m et n pour degrés et manquant du terme le plus élevé en j-. En considérant xetjr comme des coordonnées rectilignes, ces deux équations appartiendront à deux courbes, et le degré de l'équation finale résultant de l'élimination dej- sera égal au nombre des points d'intersection réels ou imaginaires de ces courbes. Par conséquent, ce nombre ne changera évidemment pas, si l'on rapporte les deux courbes à d*auircs axes de coordonnées ; mais alors les nouvelles équations de ces deux courbes se déduisent des anciennes, en remplaçant x et y par des fonctions linéaires ax-}- by-j iix -f- Vy^ et elles contiendront évidemment, l'une an terme en j'", Tautrc un terme en^'*, à cause de l'indétermination de h et de V \ le degré de l'équation finale en X résultant de l'élimination de j^ entre ces nouvelles équations sera donc au plus égal à nin : par suite, le nombre des points d'intersection des deux courbes ne pourra surpasser m«, et il en sera de même du degré de l'équation finale qui résulterait de l'élimination de y entre les deux proposées.

La nicmc démonstration s'applique au cas où les deux équations proposées contiennent, outre x el j'-, d'autres variables z^u^ .... En effet, si l'on pose

3 ' A" .TT j U Z^I A* 3r y • • • y

et que Ton considère /r, A',, . . . , comme des paramètres, le

SECTION II. CHAPITUE !• 4 '7

raisonnement précédent s'appliquera aux deux équations proposées qui ne renferment plus que x Qtj. Par où Ton voit (|ue l'équation finale en x, z, ù, . . . , résultant de l'élimination de j', sera au plus du degré m/ï, si l'on y remplace Zy u, . . . , par hx, h'x, . . . , et cela, quels que soient /", A^ ... ; mais cette substitution ne change évidemment pas son degré, lequel ne pourra donc, en aucun cas, surpasser inn.

On verra plus loin qu'on peut fixer avec précision, dans chaque cas particulier, le degré de l'équation finale qui résulte de l'élimination d'une inconnue entre deux équations données.

188. Quand on opère l'élimination dans le but d'obtenir les svstèmes de solutions de deux équations à deux inconnues, il faut déterminer en outre les valeurs de l'inconnue éliminée, qui répondent à chaque racine de l'équaticm finale; on a vu au n° 73 comment on doit diriger le calcul pour remplir cet objet. Au reste, comme l'équation finale en x exprime que les équations proposées ont une racine commune^, on peut déterminer celle-ci par le procédé suivant, qu'Abel a fait connaître dans le tome XVII des annales de Mathématiques de Gergonne ( * )

Soient les deux équations

(0 /(r) ==r'" -+-/>! j'""' -^Pîr"*-'-4- ... -^Pm-xy -^Pm-=o,

(2) F (7) - j« -4- <7ir'*~* -4- 7îJ""* -+-... -f- qn^xX -^qn—o,

qui ont une racine commune j^i, mais qui n'ont que cette

seule racine commune, et proposons-nous de la calculer.

Désignons par y^yj^j . . . , /« les /i racines de l'équa-

( ') L'édition des OEuvres d'Abel faite par Holmboe et publiée en 1889 ne renferme pas ce théorème; au contraire, la nouvelle édition faite par les soins de MM. Sylow et Lie, et publiée en 1881, présente cette application {'Voir le u** XIII).

S., yilg, sup, — I. a-j

4i8 COURS d'algèbre supérieure.

lîon (2), et portons-les dans le premier membre de Té- (|uation ( i )f{j ) \ on aura ces n résultats

dont le premier est nul. Faisons ensuite les produit* n — I à /i — I de ces n quantités, et désignons généralement par R^ celui de ces produits qui ne contient pas le facteur/fj^j,); les quantités

"Il Rîi R3» • • • » "»

seront toutes nulles, à Texception de la première. Ces quantités sont exprimables rationnellement, la première en fonction de^i, la seconde en fonction de ^a? • ... la dernière en fonction de j'„ ; en effet, R^ est une fonction symétrique des quantités j>i, j^, . . -, jn^ excepté j,, c'est-à-dire une fonction symétrique des racines de Téquation

ou

R.j, pourra donc s'exprimer sous forme rationnelle et entière en fonction de j'^ et des quantités connues qui entrent dans les équations (i^ et (2), de la manière suivante:

En outre, par Tun des procédés indiqués aux n*'* 182 et 183, on pourra chasser de Texpression de Rj^^ toutes les puissances de j ^ supérieures à la [n — i)*^*"*", en sorU* (iiie la valeur de R^ aura finalement cette forme

( 3 ) R,, - po -+- pi.;v -«- pt^ :i -^ . . • -1- p«-i^

On voit que Téquation

a les n — i racines j^^a, j^s, > » . , Xni oi^ a donc

ri+r.-^ ..+7/. — ---"-;

on a d'ailleurs

et, par la soustraction, on obtient la valeur demandée de j^i, savoir

^ P«-« Xi= 7i-

Pn-l

On voit qu'il suffît pour ayoir j,, de calculer dans R^ les coefficients de/J[~* et de j^J~*.

7/icorcme de Lagrange sur les conditions nécessaires pour que deux équations aient plusieurs racines communes,

J89. C'est ici l'occasion de mentionner un beau théorème que Lagrange a démontré dans son célèbre Mémoire inséré parmi ceux de l'Académie de Berlin pour 1770 et 1771, et qui est relatif aux conditions nécessaires pour que deux équations aient plusieurs racines communes.

L'objet de ce théorème est de faire connaître les conditions pour que deux équations algébriques aient deux trois, etc. racines communes, quand on connaît la condition pour qu'elles en aient une. V^oici en quoi il consiste.

Théorème. — Si V = o exprime la condition pour que deux équations algébriques

(l) /(.r; :-.r'^' -i p,.r"'-' -4-/?,.r'''-* -^ ... -f- ;,,„, j? -h /?,„ zi=0, \p.] F (jr) -' .r" -H ^, x'*-» -h 7, a:«-« -H . . . -f- q^^-t * -h 7„ — O

aient une racine commune, V étant une fonction enlicta des coefficients pt^ p2, . » ., ifif ç^y > - - ^ ^t ^we ton désigne par DjJ V^ D^ V les dérii^ées d'ordre /x et d'ordre V du poljnôme V, prises la première par rapport à pmy et la deuxième par rapport à q^y l^s conditions nécessaires pour deux racines communes seront

V — o et D„ V = o,

ou bien

W = o et D^Vrzro;

pareillement, les conditions nécessaires pour trois racine: conmuines seront

V^o, D„V-=o, D»V = o, OU bien

et ainsi de suite; en sorte qu'on formera les conditions nécessaires pour fx racines communes, en joignant à /'équation V -— o nécessaire pour une seule racine commune les [i — 1 équations obtenues en égalant à zéro les II — I premières dérii^'ées du polynôme V, prises par rapport au dernier terme de l'une des deux équations proposées.

Tel est renoncé que Lagrange a donné de son théorème, mais il est nécessaire d'ajouter quelques mots sur la manière dont cet énoncé doit être entendu. Ainsi les équations

Vrr.o, D^V = 0, D;, Vrrro, .,., Dp V i^^^- O

m 'm ' Kt

expriment simplement les conditions nécessaires et sufGsantes pour que fjt racines de Téquation (2) satisfassent à Téquation (i), en sorte que si Téquation (a) a des racines égales, il sera possible de satisfaire aux fi équations de

SECTION II. CHÀPITUE I. 4^1

condition écrites plus haut, sans que les premiers membres des équations (i) et (2) aient un diviseur commun du degré /i, ce qui serait la condition nécessaire pour que les équations (i) et (2) eussent réellement [â racines communes. Pareillement les équations

V — o, D^V=:o, DJV=:o, ..., d;~'v = o

expriment les conditions nécessaires pour que (x racines de l'équation (i) satisfassent à Téquation (2), en sorte que si l'équation (i) a des racines multiples, on pourra satisfaire aux équations de condition précédentes, sans que les équations (i) et (2) aient réellement /i racines communes.

Il faut remarquer, en outre, que le dernier terme p^ ou q , par rapport auquel sont prises les dérivées de V, doit être considéré comme un paramètre indéterminé dont tous les autres coefficients sont indépendants.

Cela posé, passons à la démonstration du théorème. Soient a, A, c, . . . , /r, / les n racines de Téquation (2),

et posons

V est une fonction symétrique des racines de l'équation (2), dans laquelle les coefficients sont des fonctions entières des coefficients de Téquation (i); on pourra donc Tcxprimer par une fonction entière des coefficients des équations (i) et (2).

Les racines a, hy c, . , ,, k, l étant indépendantes de p^^, les quantités f{^)yf{f>)y - - -> f[l) sont des fonctions linéaires de p^ et leurs dérivées sont toutes égales à l'unité; donc Dy,^V est égale à la somme des produits m — I km — I des quantités

42'i GODR8 D*ÀLGkBRE SUPÉRIEURE.

pareillement D* V est égale à la somme des pro-

duîls m — 2 à m — 2 des mêmes quantités et généralement : Dj, V est égale à la somme de leurs pro-

duits m — i k m — / .

Par conséquent, Inéquation qui a pour racines le.^ n qus^ntités

/{«), /(6) /(*). Ai)

est

D"-'Y Dj V

dz -^^^ X«n= — ■? - X db V =: G.

Or, pour que fx racines de Téquation (2) satisfassent à Téquation (i), il faut et il suffit que Téquation en X ait fi racines nulles, c'est-à-dire que Ton ait

V = o, D„ Vz=o, DjVzrrO, .., DJ" * V = 0,

ce qui démontre le théorème énoncé.

La démonstration qui précède est plus claire et plus précise que celle qui a été donnée par Lagrange. 11 semble effeclivement, au premier abord, par le raisonnement de Taulcur, qu'il soit permis, dans l'énoncé du théorème, de substituer aux dérivées de V, prises par rapport au dernier terme de Tune des équations proposées, les dérivées prises par rapporta un coefficient quelconque, ou même par rapport à un paramètre dont un ou plusieurs de ces coefficients seraient fonctions. Mais il est aisé de voir qu'on obtiendrait de cette manière des équations de condition trop générales.

Par exemple, p . étant le coefficient de x* dans

J\jc)y et tous les autres coefficients étant indépendants

de p^^p les équations

Vr^o, Dp V = o

peuvent avoir lieu, quoique les équations (i) et (a) n'aient qu'une seule racine commune. En effet, y(a), f{h], • * ' nf[l) sont des fonctions linéaires de ^„,,- et leurs dérivées par rapport à p^__y ont respectivement pour valeurs «', i', . . . , A; donc, à cause de

V=/(a)/{6). ./(/), on aura

l>,>,„,V=^fl'/(ft).../(/)-f- *'/(«). ../(/)-4-....

Il est évident, d'après cela, que les équations de condition

seront vérifiées si chacune des équations proposées a une racine nulle.

Exemple. — Appliquons le théorème de Lagrange aux deux équations

X^ -\ Pi .r' -f /?j JP -+- /?8 = G,

En appelant a et A les racines de la seconde équation, on a

— 7i 9iPiPt -^ [q] — '^qtjpipi H- qtpl — qxP^Pz -+- /?J.

et

La condition, pour que les équations proposées aient une racine commune, est V= o; par suite les condi-

4^4 C0I3RS d'algèbre SUPÉRIEDRE.

lions pour deux racines communes seront

V = o, Bp,V = o.

En éliminant p^ entre celles-ci, il vient

cette dernière se décompose en deux autres. Si Ton prend

on exprimera que les deux racines de Téquation du second degré sont égales entre elles, et ces racines satisferont à l'équation du troisième degré, en vertu de la condition V = o. Si Ton prend, au contraire

<7Î — 7t — îi P\ -^Pt = Oi Téquation D^^j^V = o se réduit à

<7i 9t — QtP\ -4- /?j = o.

Les deux équations précédentes expriment les conditions nécessaires et suffisantes pour que la première Jes équations proposées soit divisible par la seconde

Méthode de Tschirnaiis pour faire disparaître autant de termes que Von veut d'une équation.

î90. On peut rattacher à la théorie qui nous occupe la méthode élégante que Tschirnaiis a donnée dans les Actes de Leipsick pour i683, et qui sert à faire disparaître d'une équation autant de termes que Ton veut. Cette méthode consiste à transformer Téqualion proposée en une autre dont la racine soit une fonction rationnelle de celle de la proposée, ou, si Ton veut, une fonction entière de degré inférieur à celui de Téqualion proposée, car c'est à cette forme (n° 182) que peut se ramener la fonction rationnelle la plus générale.

SECTION II. CHAPITRE ï. 4^^^

Soit

une équation du degré m, et posons

rto» «ij •••, désignant des indéterminées, n un entier inférieur à m. L'équation finale en j^', qui résulte de Télimination de x entre les équations (i) et (2), sera évidemment du degré m, puisque y a autant de valeurs que X, Cette élimination peut se faire par les fonctions symétriques, de la manière suivante : en élevant Téquation (2) aux différentes puissances 2, 3, . . . , m, et en ayant soin de rabaisser les exposants de x au-dessous de m, à Taide de Téquation (i), on obtiendra une suite d^équations de la forme

r'"= k^-^ ky,T-\- '^- /„», J-,;i i.

6o> ii> • • • sont des fonctions homogènes et entières du deuxième degré des indéterminées ao, fli, . . .; pareillement c^y c^, ... sont des fonctions homogènes et entières du troisième degré de «o> <^n • • • » ^^ ainsi de suite. Si, maintenant, .Ç|,5o, ... désignent les sommes de puissances semblables de racines de Téquatlon (i); S|, S2, . . • , celles des puissances seml)lables des racines de Téquation en y y les équations (2) et (3) donneront

Sj = mb^ -4 ^1*1 -t- b^Si H- -f- ^;„i5;„j,

Sm='»^0-*-^l^l + ^t^t + -^Â'n^iS,n-i.

Connaissant ainsi les sommes de puissances semblables (les racines de Téquation en y» on pourra former cette équation.

On peut y arriver encore de la manière suivante. Ou résoudra les équations (3) par rapport aux puissances x^j x^y . . ., x'"~*y et Ton portera leurs valeurs dans l'équation (2). Ce procédé a l'avantage de donner la valeur de X exprimée rationnellement en y^ en sorte qu'on connaîtra chaque racine de l'équation proposée, quand on aura résolu l'équation finale en jr.

Représentons par

cette équation en j^, où ^i, q^y • • • > Cm sont fonctions entières des indéterminées aoy a^y . . . y ei qui exprime la condition pour que les équations (i) et (2) aient une racine commune. Je dis que de cette seule équation (5) on peut déduire la valeur de x qui correspond à chaque valeur dej^, et même la valeur d'une puissance quelconque de X. En effet, désignons par Y ce que dcNaent le second membre de la formule (2) quand on y remplace le coefficient a^ par a^-t- hy et soil

l'équation de laquelle dépend Y. Chaque coefficient Q/ est une fonction entière de a^-hA, et, si on l'ordonne ^uivant les puissances de //, on aura évidemment

Q, ^ q^ H- h Da gi -+- — - D'q, -+-...,

Da y,, Drt,^ q^y • • • représentant les dérivées successives du polynôme (/. par rapport k a^; on a d'ailleurs

Si l'on porte ces valeurs dans l'équation (6), celle-ci de-

Viendra identique, quel que soit h, quand on attribuera à j: et à j^ leurs valeurs simultanées; en conséquence, les coefficients des diverses puissances de h doivent être nuls. En égalant à zéro la partie indépendante de A, on retrouve Téquation (5), et si Ton égale à zéro les coefficients de la première puissance de A, il viendra

et, par suite,

— mj'"-» -h ( /w — I j 7,7'""* -»-...-»- qm^i '

On aura, en particulier,

i>a, (r'" -h îir'""* -h ... H- qm-^ix -^ qm)

je=z —

mj'"-* -h (m — i)'çi/'"-* -t- . . . 4- <7;„,

On voit donc qu'il suffira de résoudre l'équation (5) pour avoir résolu par cela même l'équation (i).

Cela posé, on peut disposer des indéterminées ao, a^y . . . , de manière à faire évanouir n termes de l'équation en j; par exemple, si l'on veut faire disparaître les n termes qui suivent le premier, il suffira de poser

Si r= o. S, = o, . . . , Sn = o.

Or, en se reportant aux équations (4), on voit que S^ est du premier degré par rapport à ^o, ai, . . . , que Sa est du deuxième degré, S3 du troisième, etc., S^ du ^jième Donc, d'après le théorème de Bezout (n®70), la détermination de ces indéterminées, dont l'une peut être prise arbitrairement, dépend d'une équation du degré

et, si Ton voulait faire disparaître de l'équation (5} tous

4a8 COURS d'algèbre supérieure.

les termes, à rexception du premier et du dernier, le problème dépendrait d'une équation du degré

C'est aussi à la résolution d'une équation de ce degré que se trouverait ramenée celle de Téquation proposée, car Téquation (5), n'ayant alors que deux termes, pourrait être immédiatement résolue. '

191. La transformation de Tschirnaiis donne la résolution algébrique des équations du troisième et du quatrième degré. En effet, soit d'abord l'équation du troisième degré

jr' -h /7.r* 4- qar -f- r := o;

on posera

et Ton formera l'équation finale en y, savoir

^3 -4- Pj* -+- Q j -+- R == o.

On déterminera les rapports de deux des quantités «o, ai, ^2 à la troisième, au moyen des équations P = o, Q r- o, qui sont, l'une du premier degré, l'aulre du deuxième ; on pourra donc résoudre ces équations et exprimer les rapports dont il s'agit en fonction des coefficients de la proposée. L'équation enj se réduisant alors à

r^ -f- R = o, on en tirera ces trois valeurs

3; t: ^ir

a et O désignant les racines cubiques imaginaires de l'unité. Connaissant ainsi les trois valeurs de y, on aura facilement, parce que nous avons dit plus liant, les trois valeurs de x. D'après la proposition du n® 182, la trans-

SECTION II. CHAPITI^R I. 4^9

lormatîon que nous venons (reffecluer revient à celle dont nous nous sommes occupé au n** 63. Soit enfin l'équation du quatrième degré

.i-* H- f?.r^ -T- €jr^ -^ r.r -t- .v r r G;

on posera, comme précédemment,

et Ton aura une équation an jr telle que

On déterminera deux des quantités ao,rto a^ au moyen des équations P = o, K = o, qui sont, Tune du premier degré, Tautre du troisième; on pourra donc résoudre CCS équations et exprimer deux des inconnues, en fonction de la troisième et des coefficients de la proposée. L'équation en r, se réduisant à

elle pourra être résolue, car elle s'abaisse au deuxième degré en posant j^= z. Connaissant les quatre valeurs de jj on formera immédiatement les expressions des quatre racines de Téqualion ])roposée.

application de la méthode de Tschirnaiis à l'équation

du cinquième degré.

192. M. Jerrard, géomètre anglais, a démontré qu'on peut faire disparaître d'une équation quelconcjue le deuxième, le troisième et le quatrième terme en résolvant une seule équation du troisième degré. Nous allons établir ici ce résultat important; à cet effet, nous comoicncerous par démontrer la proposition suivante :

43o corRs d'algèbre sup^rtrure.

Théorème. — Une fonction homogène et entière du second degré de n variables est la somme des carrés de V fonctions linéaires^ le nombre v étant égal ou inférieur à n.

Soit V une fonction homogène et entière du seconu degré des n variables

•^0* ^ij •'"jï • • • » '^n — !•

Si /i = I , la fonction V ne dépend que de la seule variable Xo, et elle est de la forme Sq J^\ ou (j:© v^)*» î* étant un coefficient numérique.

Dans le cas de tz > i , si V renferme le carré de l'une des variables, Xq par exemple, et qu'on l'ordonne par rapport à Xo, on aura une expression de la forme

Co est une constante, P est une fonction linéaire des n — 1 variables X| , X2, . • • , x„^^ ; enfin Q est une fonction entière et homogène du second degré des mêmes variables. Si donc on pose

Xo = JTo -^ » V, = Q y

on aura

V = eoXJ-f-Vi, ou Vz=(XoV^7;/h-V„

V| étant une fonction entière et homogène du second degré, mais qui ne renferme que n — 1 variables, au plus.

Si la fonction V ne contient aucun carré et qu'on ^o^ donne par rapport aux deux variables Xo et Xi, on aura

ou

PQ

et si ion pose

puis

il vifMidra

ou

Xo et X| sont des fonctions linéaires qui peuvent renfermer les n variables Xo, X|, ...» Xn^\y et Va est ui^e fonction entière et homogène du second degré qui ne renferme, au plus, que n — 2 variables.

Ainsi la fonction V, qui dépend de n variables, est ramenée à la fonction V|, qui n'en renferme que n — i au plus, ou à la fonction V2, qui n'en contient pas plus de n — 2, en mettant à part un carré dans le premier cas et deux dans le second; on peut opérer de la même manière sur la nouvelle fonction, et en poursuivant ainsi, on mettra V sous la forme suivante :

V nr §0 X j -+- *! X , -4- . . . -f- Cy— I X„i,

ou

V — Xo v/so/ H- (X, v^ci ;*-+-... 4- (Xv^i sl^^x j*»

• 0, 2o • • •> ^'-i désignant des coefficients numériques, et Xo, X|, . . . , X^, des fonctions linéaires des variables

11 est évident que le nombre v est égal ou inférieur à fij et que Ton a v = /i quand les coefficients numériques de V sont des quantités indéterminées.

ËXEMPLB. — Si Ton applique la méthode précédente

43 a COUHS D ALGÈBRE SVPéRICUBTS.

à la fonction

V — A.r*-f- A'j* -+- A*' 3* H- 2Bjz -4- iB'jrz -h iiyjrr

des trois variables Xyj,Zy dans laquelle les coeflîcienls nunKricjues A, A', ... demeurent indéterminés, on

trouvera

en faisant, pour abréger,

X=:Ax4-BV-+-B'«, y r= (AA' - B''^)x -^ (AB - B' B'') «, Z = z,

et

""""'a' AtAA'-B'^»)'

AA^A^ -i-2BB'B^^— AB» — A' B'» — A^ B*^« '*" • AÂ~-B^V

193. Passons maintenant à la démonstration du théorème que nous avons en vue. Soit Téquation

et j)Osons Soit aussi

l'équation en y. D'après ce qu'on a vu au n° 190, la somme des puissances p**"™" des racines de Téquation en y est une fonction homogène et entière du degré p des cinq quantités ao, a^y a^y a^j a*] par suite, lescoefficienls r/^, <y^, . . . </^^ sont aussi des fonctions entières et homogènes des mêmes quantités, et les degrés de ces fonctions y sont précisément égaux à leurs indices. Cela

posé, pour faire disparaître le second, le troisième et le quatrième terme de l'équation en j , il faut faire

La première de ces équations est linéaire; tirons-en la valeur de ^o? en fonction deai,a2, as, a^, pour la porter dans les deux autres, etsupposons quecelles-ci deviennent

^\ = Oi l\ — o-

Les premiers membres de ces équations sont des fonctions homogènes des degrés 2 et 3 respectivement des quatre quantités «i, «2, «3, a^, Or, d'après le théorème du n** 192, l'équation q\^^ o peut se mettre sous la forme

y, g, lijh étant des fonctions linéaires, et cette équation sera satisfaite en posant

ou

f=zgyj — l, h — / v/— I.

Ces deux dernières équations sont linéaires ; si l'on en tire les valeurs de a« et de «2 pour les porter dans l'équation y 3 = o, celle-ci deviendra

cl son premier membre ^' sera une fonction homogène et du troisième degré des deux quantités a^ et a^. L'une de ces quantités peut être prise arbitrairement et l'autre dépend, comme on voit, d'une équation du troisième degré; les quantités a^ et a^ étant déterminées, on en conclura les valeurs de a©, ai, «2» et l'équation en j deviendra

s — yi!^. sup,, I. ab

434 COURS d'algèbee supérieurs.

Par la même transformation on peut faire disparaître le deuxième, le troisième et le cinquième terme d'uDC équation quelconque; seulement, la détermination des arbitraires ao, a^j a^j a^y a^ exige la résolution d'une équation du quatrième degré au lieu de celle d^une équation du troisième degré.

Enfin^ si à la transformation de Tschimaùs on joint la transformation qui consiste à remplacer l'inconnue par son inverse, on voit que, par le moyen d'une seule équation du troisième ou du quatrième degré, il est possible de faire disparaître d'une équation quelconque les trois termes qui précèdent le dernier ou bien les deux qui précèdent le dernier avec celui qui précède le dernier de quatre rangs. Et, dans le cas particulier de Téquation du cinquième degré, il est clair qu'on peut faire disparaître ainsi trois termes quelconques entre le premier et le dernier. Ainsi, par la transformation dont il s'agit, l'équation du cinquième degré peut toujours être ramenée à l'une quelconque des quatre formes

x^ -f- pjr^ -h <7 =: O, X^ -^ p .r'' -\- q zrz o.