I . 2 . . . /î dx
et cette série est convergente, car les modules de seî termes sont inférieurs à ceux de la série
dans laquelle q est <^ i , par hypothèse ; il est évident que cette dernière série est convergente et a pour somme
— /7rlog(i — 7).
Considérons maintenant le second membre de la formule (2) ; 3 ayant le module r, chacun des facteurs qui le composent est développable en série convergente, par la formule de Maclaurin, et Ton a
Dans ce produit le coefficient de - esl évidemment la somme de la série
le module de z^ étant inférieur à /*, cette série est convergente et clic a pour somme, d'après la formule de Maclaurin, la différence
De tout cela nous pouvons conclure que Ton a
comme nous l'avions annoncé.
209. Si Ton fait croître le module p de la variable z depuis o jusqu'à oo , le module maximum de la fonction
qui est infini pour p •= o, ira d'abord en décroissant, et s'il ne redevient pas infini pour quelques valeurs finies de py il finira par croître au delà de toute limite, en même temps que p, à moins que (^(j: -r -) ne soit une fonction linéaire de z. En efiet, la fonction y (x -H ^) restant bien déterminée et continue pour toutes les valeurs de z, sup-
posons que le module maximum de ne puisse
surpasser une quantité donnée -*, le module maximum de
sera dès lors inférieur à i , quelque grand que soit le module de z et il s'ensuivrait (n" 207) que l'équation
n'aurait qu'une seule racine, ce qui ne peut avoir lieu que dans le cas où ç^[x -h z) est une fonction linéaire.
11 résulte de là que, p croissant à partir de zéro, le module maximum de la fonction
passera nécessairement par un minimum. Posons
le module P et l'argument û seront des fonctions continues de p cl de o); la valeur de w qui répond au maximum de P, pour une valeur donnée de p, satisfera donc à Téquation
Oui
P devient alors une fonction de p seul, puisque la variable w qui y figure est une fonction déterminée de fy. et, dans le cas du minimum de P, on doit avoir
dp
dp (ft>
du dp
condition
qui
se
réduit
dp
en vertu de Téqualion (2).
Cela posé, comme on a
()z z ôz
si Ton différentie Téquation (i) d'abord par rapport à p. et ensuite par rapport à o), on aura
dp . .. ôa
(op oa
\ dû* Obi
retranchant ces identités Tune de l'autre et supprimant
le facteur e"*, il vient
dp . ^da dP „ t)ii dp àp â^ d'.i
d'où Ton conclut
ÔP ^ô^. dP ^âii
i5 — pP — , p— r= — P-— .
âtù ^ do d^ Oui
En vertu de ces formules (5), les équations (2) et (3) ne peuvent avoir lieu que si les seconds membres des formules (4) s'évanouissent; par conséquent la valeur de z qui répond à la plus petite valeur du module maximum satisfait à Féquation
f (z)z=o, ou
Zo'{.r -h z] — o[.r -f- z ) .-rr: O.
Désignons par }^ cette valeur de z, et posons
— -^ =ff (.r-f-Ç)= -;
la quantité 1^ sera une racine commune aux deux équations
