TÇ) f.r -f- 2) — - o, 1 — To'(.r-f- z) zzz O

et, par suite, elle sera une racine double de Téqualion

z — Ty(.r -f- 3) 1= o.

Désignons alors par t une constante dont le module soit inférieur au module de r, et attribuons à la variable :: le module de la constante *(; il est évident que le module

maximum de —- — sera égal au module de -: il sera

donc moindre que i . En conséquence, Téquation

z — tf^[x -Jr z]=.0

48o COURS D^ ALGÈBRE SUPÉRIEURE.

aura une racine unique de module inférieur au module de ^, et le théorème du n*^ 208 pourra être appliquée cette racine.

210. Si Ton pose z = u — x, l'équation se transformera dans la suivante :

et, d'après les développements qui précèdent, on peut énoncer la proposition suivante :

Théorème. — Soient cp(M) une fonction bien déterminée qui reste continue, et T le plus petit des modules qu il faille attribuer à t, pour que l' équation

ait deux racines égales. Tant que le module de t restera inférieur à ï, celle des racines u de lamente équation qui a le plus petit module sera déi^eloppable en série com^ergente ordonnée suivant les puissances entières et positii'es de t ; la même chose aura lieu aussi pour toute fonction continue de la même racine u.

On a (n" 208), si ¥ [u) est une fonction continue,

,w ^ ..i ^ ^ r.., ^ , ^ '' ffY'i .7-] \ tu { .r\^*

1 1.2 uJC

ce qui est précisément la formule de Lagrange, sous la forme que cet illustre géomètre a adoptée. Si la fonction F(<x) se réduit à m, il vient

i^' 1.2 dj: 1.2. ../ï dx^~^

La forme que M. Rourhé a donnée à la formule de

Lagrange (n° 208) est souvent préférable dans les applications à celle que nous venons de présenter; au reste, on passe de Tune à l'autre forme par un simple changement de variable (*).

Applications de la formule de Lagrange.