TA
quant au degré de cette équation, on voit «à priori qu'il doit être égal au nombre des combinaisons de m choses
: ENT entre] deux à deux, c’est-à-dire égal à DES UE
cp |
S'il s'agit de l'équation du deuxième degré
f(z)=2#+pz+g—=o, on aura FAIRE EST CAE ET La deuxième des équations (3) se réduit à HS DES 0) et, comme elle ne renferme pas z, elle n’est autre que l'équation demandée; ce résultat est évident.
Dans le cas du troisième degré, la méthode générale est susceptible de simplification; car, soit l'équation
flz)=#+pr+qz+r—=o, et désignons par z, z4, z2 les trois racines. ‘Si l’on fait Z4 + Zo = U, On aura Z——u—p, et, par suite, f(—u—p)=0; celte équation est précisément la transformée demandée.
97. Prosième Il. — tant donnée une équation f\z) = 0 du degré m, former une équation F{u) = 0, dont les racines soient les différences deux à deux des racines de la proposée.
Désignons comme précédemment par z et par z, une racine quelconque de l'équation f(z) =0o; léquation en « s’obtüiendra en éliminant z et z, entre
PASA CET PORN A TA A UE TE 7 ou, en éliminant z entre les deux
Hbah=0, Lu AO,
“+ 5 Alg. sup: ne) le X4
Ce système peut être remplacé par le suivant :
(2) — O, f(u + 2) — f (2) —= O0, lequel se décompose en deux autres, savoir :
Gi) Po palin.
Les systèmes de solutions du système (2) sont formés d’une quelconque des racines z de la proposée et d’une valeur nulle de u; quant aux équations (1), elles peuvent être écrites sous la forme
— fe) ne
LD NS Ce IL
PRÉ Pa) + Sa) ++
elles donneront pour équation finale la transformée F(u) = o que l’on cherche, et celle-ci n’aura de racines nulles que si la proposée a des racincs égales.
On reconnaît a priori que le degré de l'équation demandée est égal au nombre des arrangements de m choses deux à deux, c’est-à-dire égal à m (m—1); en outre, il est évident que les m(m—1) racines de cette équation
formeront des couples tels que z—z, =u,,z,;—z—=—u, de deux racines égales et de signes contraires, en sorte que ° . m m sis: I son premier membre sera le produit de TRANS facteurs
de la forme u?— u°, et il ne renfermera que des puissances paires de u. L’équation F (u) — o s’abaissera donc
mm —1)
au degré en posant u? — y; l'équation en v est
dite l'équation aux carrés des difjerences des racines de la proposée.
SÉGLIONMIS CHAPITRE. IV: 0 1
TXEMPLE. — Appliquons ce qui précède à l'équation
du troisième degré
(1) + Pa + Q5+R—0.
5e P | Se S1 l’on remplace z par z— =; et que l’on pose (n° 62) P? 2P3 PQ Ps à © PR TEE
cette équation se réduira à (2) 2 + pz + q—0.
Les racines de l'équation (2) sont égales à celles de l'équation (1) augmentées d’une même quantité; donc, pour l’une et l’autre équation, l'équation aux différences est la même. On obtiendra celle-ci en éliminant z entre l'équation (2) et l’équation (3) 32? + 3uz + (u? +p)=0o.
Le moyen le plus simple de faire cette élimination consiste à retrancher les équations ( 2) et (3) l’une de l’autre après avoir multiplié la première par 3 et la seconde par z, ce qui donne (4) Buz? + (u? —2p)z--3q —0; à tirer des équations (3) et (4) les valeurs de z et z? sa- YOIr :
uÿ + pu +3q , Ut — pu + oqu — 27?
9 Ou Ve 5 —— 2 (u?+p) G(u#?+p) et à égaler la seconde expression au carré de la première. Posant ensuite Ha ie,
on obtiendra l'équation aux carrés des différences de-
mandée, qui est
5 + Gpe? — 3p°e + (4pÿ + 27q?) — 0.
Revarque. — Soit f(x) une fonction entière de z, à
coefficients réels; si l’on posez =x +7 Ÿ— retque l’on fasse F(e+rv— DE p(x, y) ee V— 1 (4,00
® et Ÿ étant des fonctions réelles, on aura aussi .
PRE ET) 61 (æ,7) Url e y)
Cela étant, si l’on considère les équations simultanées
p Ce 2 OA) LTD 10
et que l’on élimine successivement entre elles les inconnues x et y, il est évident que l'équation finale en x ne sera autre chose que l'équation aux demi-sommes des racines de la proposée, tandis que l’équation finale en y sera
l'équation aux quotients par 2 ÿ— i des différences des mêmes racines. Effectivement, les deux équations qu précèdent équivalent aux deux suivantes :
Ke LINE) So fr 7 NE
qui expriment que æ Eire ÿ—: CE LT ÿ— ri sont des racines de f (z)= 0.
Sur la recherche des diviseurs des fonctions entières d'une variable.
98. Toute fonction cntière f(z) d’une variable z est le produit de facteurs linéaires de la forme z— z,; la recherche de ces facteurs linéaires équivaut à la résoluuon de l'équation f(z) = 0, car la condition pour que z— z, soit un diviseur def (7) est CARS fonction f (z) est du degré », elle admettra évidemment: autant de diviseurs du degré y: que l’on peut former de
Te LE NS CE PT ET ee es \ È ‘ * d “ er : LR ae | “ . » = Le ‘
combinaisons avec les 2 facteurs linéaires pris Là; ce nombre de combinaisons est égal à
nu ln ete LV T. de
Pour trouver les diviseurs dont il s’agit, on effectuera
la division de la fonction f(z) par un polynôme © (z) du degré u, dans lequel les coefficients soient indéterminés, et l’on égalera à zéro le reste du degré —1 que l’on aura obtenu; on formera ainsi u équations qui serviront à déterminer les x coefficients du polynôme 9#(z). Si l’on veut avoir l'équation de laquelle dépend l’un de ses coefficients, 1l faudra procéder à l'élimination de tous les autres, et l’on trouvera une équation finale dont le degré devra être égal à M. A chacune des M racines de cette équation finale correspondra un diviseur de degré y du polynôme f(z), en sorte que les valeurs des coefficients éliminés devront être déterminées complétement par le moyen des équations de condition.
Lorsqu'on a p — 1 ouu—m —1,le nombre M est égal à m; mais dans tout autre cas on a M >>, en sorte qu’en général la recherche des diviseurs d’un degré différent de 1 ou de 7: — 1 dépend d’une équation dont le degré est supérieur à celui de la proposée.
Au lieu de procéder comme nous venons de l’indiquer, on peut écrire que le polynôme donné f (z) est le produit de deux polynômes (3), d(z) des degrés pet m—h respectivement, etdans lesquelstousles coefficients soient indéterminés ; on formera ainsi m équations de condition entre les m coefficients indéterminés, et l’on obtiendra ensuite, par l'élimination, l’équation de laquelle dépend l’un des coefficients du polynôme @(z).
Soit le diviseur
e(z) ES Al —- Æj gr—1 —- Le ZT —+ . —- ÆLu—1 Z + A9
