L DAS

il est évident que — «, est la somme de y racines de l'équation f(z)— 0; donc l'équation finale de laquelle dépend — x, coïncidera avec l'équation aux sommes des racines de f(z) — o, prises p à p. Ainsi, en particulier, pour avoir l’équation aux sommes des racines deux à deux d'une équation f(z) — o, il suffira d'exprimer que 2? —uz + q est un diviseur de f(z); on trouvera ainsi deux équations de condition entre u et g, et par l’élimination de g on conclura l'équation demandée.

99. Bien que la recherche des diviseurs du deuxième degré d’un polynôme f (z) dépende toujours d’une équation de degré supérieur au degré de f(z), 1l existe un cas remarquable dans lequel cette équation s’abaisse et devient ainsi plus facile à résoudre que léquation f(z) = 0. Le cas dont je parle est celui où le polynôme f (z) est du quatrième degré.

Soit

f(z)=2 + Pi +Q2+Rz+S,

et désignons par 2? + pz + q

un diviseur de f(z). La quantité p dépendra d’une équation du sixième degré ; mais je dis que, si l’on fait disparaître le deuxième terme de cette équation, le quatrième et le sixième disparaîtront aussi, en sorte que l’équation transformée ne renfermera que des puissances paires de la nouvelle inconnue p', et qu’elle s’abaissera au troisième degré en posant p'?— ».

En effet, désignons par z;, 2°, z3, z, les quatre racines de l'équation f(z)— o. Les six racines de l’équation en p seront

— 7 — Zn — ZT —Z3 — 7) —Z,

po ne Dem en tt ere,

et leur somme sera égale à — 3 (2, + 2: + z3 + 31), c'està-dire égale à + 3P. Pour faire disparaître le terme du cinquième degré dans l’équation en p, il faut donc poser

d’où

Les six valeurs de p' seront donc

Dim

(Hz — 2 +2 — 2),

et l’on voit que ces valeurs sont égales deux à deux et de signes contraires, comme nous l’avions annoncé.

Ce qui précède conduit à une conséquence importante, ainsi qu’on le verra dans la suite de cet Ouvrage.

Sur l'abaissement des équations.

100. Une équation f(z) = o est susceptible d’abaissement lorsqu'elle ne renferme que des puissances de z dont l’exposant est divisible par un même nombre n; effectivement, si le degré est désigné par mn, l'équation

s'abaissera au degré m en posant z! = x; nous avons vu aussi comment on peut toujours abaisser le degré des équations réciproques. Enfin on produira l’abaissement d’une équation toutes les fois que l’on parviendra, par une voie quelconque, à décomposer son premier membre en deux facteurs. Cela arrivera, par exemple, si l’on sait que l'équation f(z)— 0 a des racines communes avec ure autre équation F(z)—0o, à moins qu’elle n’ait toutes ses racines communes avec celle-ci.

Nous sommes ici conduit à présenter une définition qui à une grande importance dans l’Algèbre.

Dérinirion. — Une fonction entière f (z) est dite irréduetible lorsqu'elle n'admet aucun diviseur rationnel.

Une équation est dite irréductible quand son premier membre est une fonction trreéductible.

Mais il nous reste à expliquer 1c1 ce que nous entendons par diviseur rationnel, et en général par quantité rationnelle.

Si les coefficients de la fonction f (z) sont des nombres rationnels, un diviseur rationnel est simplement celui dans lequel tous les coefficients sont des nombres rationnels.

Pour embrasser tous les cas, supposons que les coefticients de f(z) soient des fonctions rationnelles de quantiteés quelconques, qu'on regarde comme connues ; nous nommerons diviseur rationnel de f(z) tout diviseur, fonction entière de z, dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des quantités connues. Généralement, toute fonction rationnelle des quantilés connues sera dite une quantité rationnelle. Dans le cas d’une fonction dont les coefficients demeurent indéterminés, les quantités connues ne sont autre chose que les coefficients eux-mêmes.

La définition qui précède s'étend d’elle-même à une fonction entière de plusieurs variables.

Il faut remarquer qu’une fonction entière ou une équation peut être réductible ou irréductible, suivant la nature des quantités regardées comme connues. Par exemple, l'équation 32? — 2 — o est irréductible, tant qu’on ne regarde comme quantités connues que les nombres rationnels; mais, si parmi ces quantités on fait figurer les racines carrées des nombres rationnels, l’équation se réduira, car son premier membre se décomposera dans

les deux facteurs z — V2 et z + V2.

Taéorkme. — Si f(z) — 0 est une équation irréductible, F{z) une fonction rationnelle, et que l’équation F(z) = o admette une racine z, de f{z) — 0, elle admettra aussi toutes les autres.

Soit, en effet,