PARIS

une équation du degré m, dontz, z,,...,z», désignent les rm racines, et supposons que l’on ait entre deux de ces racines la relation

dans laquelle ® désigne une fonction entière. On pourra éliminer z, entre cette équation et l’équation

VAE ) — O0, et l’on obtiendra ainsi l'équation finale en z, (2) F(z)= 0.

Si l'équation proposée est irréductible, la fonction F(z) sera divisible par f(z) d’après le théorème du n° 100, et l'équation précédente ne sera d’aucun usage. Mais, si l'équation proposée est réductible, il pourra arriver que quelques-unes des racines de l’équation (1) n'appartiennent point à l'équation (2); dans ce cas, les polynômes f(z) et F(z) auront un plus grand commun diviseur Ÿ (z) différent de f(z), et l’on pourra en conséquence décomposer la fonction f(z) en deux facteurs, l’un et l’autre rationnels, dans le sens qui a été indiqué au numéro précédent.

Supposons, par exemple, que l’équation

ait deux racines z et z, dont la somme soit égale à une quantité donnée a. On cherchera le plus grand commun

diviseur ÿ (z) des polynômes f(z) et f(a— z), et l’on décomposera ainsi f(z) en deux facteurs. S'il n’y a que deux racines 3 et z, qui soient liées par la relation z+ 2, —=a, le polynôme {(z) sera évidemment du second degré; il sera d’un degré supérieur à 2, s’il existe plusieurs couples de racines telles, que la somme des racines de chaque couple soit égale à a; enfin il sera du premier degré, si l'équation proposée a une racine égale à

1 Ù sue qu'il n'existe point de couples de racines dont la

somme soit égale à a. Il peut arriver que la fonction f(z) soit irréductible; dans ce cas, l'équation proposée ne change pas quand on change 3 en a — 3, et je dis qu'elle est susceptib" d’abaissement. En effet, posons

et

on aura

donc l'équation transformée F (u) — 0

ne changera pas par le changement de w en — uw. Si l’on supprime les racines nulles que cette équation peut avoir, elle ne renfermera plus que des puissances paires de w et on l’abaissera en posant u? = ».

Le cas d’une équation f(:) — 0, dont deux racines sont liées par la relation 33,-— à, donne lieu à une discussion toute semblable.

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cd ES ER D ER A NT :

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Il ne sera pas inutile de présenter, en terminant, l'exemple d’une équation irréductible dont deux racines soient liées entre elles par une relation simple. L'équa-

tion

Ë à ; 27 qui a pour racines les doubles des cosinus des ares — ,

4x Gr

— ; —, est dans ce cas; z, z, et z, désignant les trois

racines, On à

NET I Z1 =— CA Ps OU Ein mess qi Z et si l’on forme les expressions de f{(z,), f(z;), on trouvera

PRÉSTES EnEnS. Z }9 2) = SES ATEN GIE fe) fe) = SG)

Nous nous sommes borné au cas où l’on a une relation entre deux racines de l'équation proposée. Si l’on avait, entre y racines, 4 étant >> 2, la relation

p(z, 2j, Z93 Zu) 10

on pourrait éliminer Lu — 1 racines en faisant intervenir m—1 des u équations

Ja} 0; Tia), RAT PAT

et il en résulterait diverses équations finales qui auraient nécessairement des racines communes avec la proposée. Mais, comme dans le cas particulier que nous avons examiné précédemment, ces équations ne seront d'aucun usage si l'équation proposée est irréductuble.

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