TE

D'où l’on conclut que, sir, r',r”,..., @ sont les restes auxquels conduit la recherche du plus grand commun diviseur des entiers mn et 7, on aura

et, par conséquent, toute racine commune, æ, aux deux équations proposées, est aussi racine de

Il est évident d’ailleurs que, réciproquement, les racines de cette dernière équation appartiennent aux deux équations proposées.

On peut aussi démontrer le précédent théorème en déterminant le plus grand commun diviseur des binômes z2%—;,z%—;1{(n° 47); on reconnaît immédiatement que ce plus grand commun diviseur est z°— 7.

Il résulte de là que, si m et n sont premuers entre eux, les deux équations

den CURE

n’ont d’autre racine commune que l'unité, et que, sim est un nombre premier, l'équation

Al == 1 n’a de racine commune autre que l’unité avec aucune équation de même forme et de degré moindre.

TuHéorëMe Il. — Si « désigne une racine quelconque de l'équation binôme

toute puissance de & sera aussi r'acine de la méme équation.

L'équation

entraîne, en effet, GT JOus (as) ti et, par conséquent, tous les termes de la série

Axe RNCS CS

sont racines de l'équation proposée.

À cause de «= 1, on a aussi

a7+1 ide a+? — u?, NE ;

d’où il suit que la série précédente contient au plus, comme cela doit être, »m quantités distinctes, savoir :

UC ON UE 1e CRIE ATOULE .

Lorsque m est un nombre premier et que & n’est pas égal à l'unité, les » termes de la série précédente sont différents; car si l’on avait, par exemple,

! 4 artrn a? ;

net 7 + n/ étant inférieurs à 77, on aurait, en divisant

par æ”,