L 1 ASS

autre que l'unité, les m racines de cette équation seront représentées par

2 — Us (2 20 a, CON ES er mu ar,

Cette proposition n’a plus Leu quand m est un nombre

composé, et qu'on prend pour & une racine quelconque de AA

mais elle aura lieu évidemment, d’après ce qui précède, si l’on prend pour & une racine qui n’appartienne en même temps à aucune équation z4— 1 de degré n inférieur à 7.

Cela posé, nous appellerons racines primitives de l’é-

quation binôme

DT celles des racines de cette équation qui n’appartiennent à aucune équation de degré moindre et de même forme, telle que

Lam (9 Si mn est premier, toute racine de z*— 1, autre que 1, est une racine primitive; et, dans tous les cas, chaque racine primitive jouit de la propriété de pouvoir donner toutes les racines par ses diverses puissances.

103. Nous allons démontrer actuellement qu'il existe des racines primitives pour toute équation binôme, de degré non premier, et nous déterminerons en même temps le nombre de ces racines.

Considérons d’abord le cas où le degré de l'équation

binôme

LH nt)

est une puissance d’un nombre premier p, et soit m = p";

toute racine non primitive de l'équation zPŸ — 1;

doit appartenir à une équation telle que

u — ARE

où 0 désigne un diviseur de p*: mais tout diviseur de p#, autre que p# lui-même, doit diviser p“-'; donc les racines de l’équation précédente, et, par suite, toutes les racines 207 primitives de la proposée, doivent appartenir à l'équation gr — rs

D'ailleurs toutes les racines de cette dernière appartiennent évidemment à la proposée; le nombre des racines non primitives de celle-ci est donc p“-t, et, par conséquent, celui des racines primitives est

I I W—. pl, ou p* £ — ï) LOU UIN? £ — :) ‘ ne!” P P

Nous allons faire connaître la manière dont sont formées les racines primitives de l’équation

(x) 2e li

Soient 6, une racine quelconque de l'équation CA Les 3 VE

6, une racine quelconque de zP — 64,

6, une racine quelconque de

et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on obtienne une dernière équalion

zl LS rs ,

dont nous désignerons par 6, une racine quelconque. Si l’on fait

(2) m == 6, 80e. . But Bus

S.—- Alg. sup., 1 | 15

cette expression de «& aura p* valeurs, puisque 6, a p valeurs, qu’à chacune d’elles correspondent p valeurs de 6:, etc., et elle donnera précisément les p* racines de l'équation (1).

On voit d’abord que les valeurs de « satisfont à l’équation (1), car on a

LME

et par suite,

Il suffit donc de démontrer que les p“ valeurs de « sont distinctes. Supposons que deux de ces valeurs soient égales entre elles, que l’on ait, par exemple,

(3) 61 63 Gone 0166 — 01 058, ce

en élevant cette égalité à la puissance p, et se rappelant

que

(4) GAS RER GT ARR CAE à PEER à RÉ, ...) ME

on aura

(5) 6165 6 bai OUEN ONE DE

Des égalités (3) et (5) on tire

en opérant sur l'égalité (5) comme nous venons de faire sur l'égalité (3), on obtiendra

et, en continuant ainsi, on arrivera à cette conséquence : que l'égalité (3) ne peut exister à moins que les quantités 61, 62,--.,6, ne soient respectivement égales aux quan-

SECTION21.-— CHAPITREOY. 227

tités 6,, 6,,...,0,. D'où il suit que la formule (2) donnera effectivement toutes les racines de l'équation (1).

Cherchons maintenant quelles sont celles de ces racines qui sont primitives. Comme nous l’avons déjà remarqué, les racines non primitives de l'équation (1) sont celles qui satisfont à l'équation

zPŸ == À!

Supposons donc que l’on ait

en supprimant les facteurs égaux à l’unité, cette équation se réduit à

(6) Her

Mais des égalités (4) on déduit

se EP” Es ——— pe —— € . .

—1 p—2 PET "op RES :

pe p—1

Cù = ve

par suite, l'équation (6) exige que 6; 11"

Par où l’on voit que la valeur de &« donnée par la formule (2) sera une racine primitive ou non primitive de l'équation (1), suivant que 6, sera différent de 1 ou égal 1:48

De ce qui précède on peut conclure la proposition

suivante :

Taéorëme IV. — La résolution de l'équation binôme z"—1, dont le degré m est une puissance p d'un nombre premier p, se ramène à déterminer une racine 6, autre que l'unité de l'équation zP —1, une racine 6, quelconque de l'équation zP —6,, puis une

racine quelconque $, de zP — 6, etc.

Car on aura, par ce moyen, une racine primitive de l'équation proposée, laquelle donnera toutes les autres par ses diverses puissances.

104. Considérons maintenant le cas général où le degré m de l'équation binôme

est un nombre composé quelconque; décomposons ce nombre en ses facteurs premiers, et soit

M—=p" "14 HS

Ps» ...,r désignant des nombres premiers quelconques InÉgaux.

Ecrivons les équations

(2) PP — 4, ZT — 1; ... 2! ==: TJ; désignons par 6 une racine quelconque de la première, par y une racine quelconque de la seconde, etc., par à une racine quelconque de la dernière, et posons

Cette expression de & a m valeurs, puisque 6, y,...,0 ont respectivement pl, g’,...,1" valeurs; je dis que ce sont précisément les m racines de l'équation (r).

Il est d’abord évident que la précédente valeur de « satisfait à l'équation (1), car on a

ue À CPR ie Le ss: 4 tt À et, par suile, GE A CNET ETS LEE

d’où ce?! — I ;

Il reste à prouver que les 22 valeurs de & sont différentes.

ÈS

SECTION Is —— CHAPITRE V. 229

Supposons que deux de ces valeurs soient égales, que l’on ait, par exemple,

GYM 0 — 67) 0.0

comme les quantités 6’, 7,...,0'ne sont pas toutes égales respectivement à 6/,7/,..., 9”, admettons que 6’ diffère de 6”, et élevons l'égalité précédente à la puissance g”.. Pac A on aura

(69 & 'JPerert — (6” y". l CALE

et, en supprimant les facieurs égaux à 1,

ga. NS G"q'oer

mais 6! et 6/ étant deux racines disunctes de l’équation

zP° = 1, elles peuvent s'exprimer par deux puissances d'une même racine primitive 6; posons donc