TE

6 —— Gr+n : 6 —— AL ,

n'etn étant <p*. Alors la dernière égalité deviendra

Gor+n!)qMessrt = Qnlq'ever à

ou, simplement, gra”. .rÀ 1:

d’où il suit que 6 est une racine commune aux deux équations

Has Ee znq 7 Lt à

et qu’elle satisfait, en conséquence, à l’équation

ré

@ désignant le plus grand commun diviseur à p et nq".…1”. Mais ce plus grand commun diviseur 8 est, au plus, égal à x, et, par suite, il est inférieur à p#; donc 6 ne serait pas, Comme nous l'avons supposé, une racine

primitive de 32° — 1.

On voit par là que la formule (3) donnera bien les m racines de l’équation (1).

Cela posé, je dis que, si 6, y, ..., d désignent des racines primitives de celles des équations (2) auxquelles elles appartiennent respectivement, la valeur de & donnée par la formule (3) sera une racine primitive de l'équation (1).

Si, en effet, le contraire a lieu, & satisfera à une équation

dont le degré 8 sera un diviseur de m, etil y aura au moins un facteur premier, parmi ceux de m, qui entrera dans 8 un moins grand nombre de fois que dans m ; supposons que le facteur premier p soit dans ce cas, 6 divisera p“\q"...1", et, par suite, « sera racine de l'équation

on aura donc

(y... sprl,

Mais pÜ—I, o) d—1:

donc Eng j,

d’où il suit que 6 est racine de l’équation (4); or elle l’est aussi de la première des équations (2); d’ailleurs, le plus grand commun diviseur entre les degrés de ces deux équations est p#—1; donc 6 est racine de l’équation

sr zPŸ — I]:

mais cela est contre l'hypothèse, puisque 6 représente une racine primitive de la première des équations (2).

I résulte de là que, si l’on ne prend pour 6, y,...,0 que des racines primitives de la première, de la se-

conde, etc., de la dernière des équations (2), la formule (3) ne donnera que des racines primitives pour l'équation (1). Il est d’ailleurs facile de voir que, si 6, ou 7,..., ou À n’est pas une racine primitive de celle des équations (2) à laquelle elle appartient, la valeur de « donnée par la formule (3) ne sera pas non plus une racine primitive de l’équation (1). Supposons, en effet, que 6 ne soit pas une racine primitive de zP — 1; on aura alors

A ,À gr" 1. FEES: tre ET

et, par suite, ICT HO RTE = Te

ce qui montre que « ou 67... 0 satisfait à une équation binôme de degré inférieur à m.

On peut conclure de ce qui précède le nombre des racines primitives de l’équation (1). En effet, le nombre des racines primitives 6 est, comme on l’a vu précédemment,

I . . . . L2 p* (: — — }; celui des racines primitives y est de même ' P

I L] L2 ° LA o"(: — =) etc.; donc le nombre des racines primitives

« de l'équation (1) est

ou I I I Pi RU Ne: lie):

( :) ( =) ( .) On peut aussi énoncer la proposition suivante :

Taéorème V. -— La résolution de l'équation binôme z"— 1, où m est un nombre composé quelconque, se ramène à la résolution des équations de méme forme,

et qui ont respectivement pour degrés Les nombres prenuers ou puissances de nombres premiers qui divisent le

nombre m.

105. L'expression du nombre des racines primitives de l'équation z”— 1 ,quenousavons obtenue, est précisément celle du nombre &{m), qui indique combien il y a de nombres premiers à m et non supérieurs à 72. Au reste, quand on admet l'existence d’une racine primitive «, ilest facile d'établir que le nombre total de ces racines est o (m).

Soit e un entier inférieur à mn; si e est premier à /n, a° sera racine primitive de z”*— 1; en effet, si le contraire avait lieu, on aurait

(RL OL MRTEETe

’ LL . ne . . .

nétant 6 m1, CE Qui exige que me soit entier, puisque à est

racine primitive; cette conséquence est inadmissible, car e est premier à m, et n est inférieur au même nombre.

. ee em Sie et m ont un diviseur commun 6, 7 sera un mul-

tiple de #2, et l’on aura (œ°)

donc a° sera racine de l'équation z° — 1, et, par suite, elle n’est pas racine primitive de la proposée.