Lorsque p est un nombre premier, l’équation

zgP— 1]

Mere re |

est irréductible. Cette importante propriété est utile

dans un grand nombre de questions, et nous nous proposons de l’établir ici. La démonstration que nous allons présenter repose sur les deux lemmes suivants :

Lemme I. — Si un polynôme X fonction de x, à coefficients entiers du degré m et dans lequel le terme le plus éleve en x a pour coefficient l’unite, est divisible par le polynôme X, du degré n, dans lequel le terme le plus élevé en x a pour coeficient l’unite et dont tous les coefficients sont rationnels, ceux-ci sont nécessairement des nombres entiers,

En effet, désignons par X, le quotient de X par X,,

X — Xi X»,

et si X, contient des termes fractionnaires, réduisonsles au même dénominateur, sauf le premier x”. Soit at D ce dénominateur, a étant la plus haute puissance de l’un des nombres premiers qui en sont diviseurs. On aura (n° 13)