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HR a 35 D à

5» X,» X, étant des polynômes à coefficients entiers, le premier du degré nr et les deux autres au plus du degré 7 — 1. Il faut bien remarquer que X} n'est pas nul, conformément à notre hypothèse ; la même chose aura lieu pour X}, à moins que l’on n'ait D = 1.

On aura, en opérant d’une manière semblable,

WE bd !

Le produit X, X, se réduisant à un polynôme dont tous

ies coefficients sont entiers, il faudra que le terme

RON parce que les autres coefficients ne 74 À ad t

contiennent en dénominateurs que des puissances moins élevées de a. Donc l’une des quantités X° et X,, sera nulle; or ce n’est pas X°, puisque, par hypothèse, le facteur at: entre dans les dénominateurs de X,; donc on a X, — 0. La même chose peut se dire des facteurs premiers qui entreraient comme diviseurs dans les coefficients de X,. Donc le quotient X, ne renferme aucune fraction et doit être un polynôme entier. Mais main- PA

tenant le quotient de X par X2:, dont les coefficients sont entiers, étant égal à X,, les coefficients de X, doivent être entiers, puisque le premier terme de X est égal à z” et que le premier terme de X, est égal ALU DIE

Leume If, — Si, dans un polynôme X de degré quelconque, le terme le plus élevé en x a pour coefficient l'unité, que tous les autres coefficients soient des entiers divisibles par un nombre premier p, et enfin que le terme indépendant de x soit égal à Æ p, l’équation

XP 0

sera wreductible.

En eflet, si cette équation n’est pas irréductible, on aura

X= (rt + aa +. Hair +a)(a + bia + + D, x +b,),

is Ans 01, br... étant des cocflicients entiers et Les V étant des exposants entiers égaux ou supérieurs à 1 dont la somme + vest égale au degré de X. Le dernier terme

de X étant égal à Hp, on a ai bip hey outre, comme p est premier, l’un des nombres à,, b, doit être égal à Æ r et l’autre à Æ p; nous supposerons

PASS 200 ORAN 22 a On a identiquement, par hypothèse,

N = rites PY (æ) ou

(xt+ Ha, x ti) (a+... + biz Ep) = at +py Var

X (x) étant un polynôme à coefficients entiers; on peut supprimer le terme Æ p dans le second facteur du premier membre, et il vient alors

(at +... +a, x Li) (x +.,,+ 0, x? + br) =axteE pi (æ),

X1(X) étant un polynôme à coefficients entiers. Le terme le moins élevé en x dans le premier membre est + 0,,x; donc il faut que b,, soit divisible par p; on peut alors supprimer le terme b,,x dans le second facteur du premier membre; il vient alors

(at +...+a xt 1) (a+ D, ar == pyo éd

En continuant ce raisonnement, on voit que tous les coefficients D,, b:,..., b, sont divisibles par p, et l’on a, en conséquence,

(art Hat +... Ha x Er) = at + py, (x),

x, (x) étant encore un polynôme à coefficients entiers. Or cela est impossible, puisque le coefficient de x” dans le premier membre de la formule précédente est égal à Æ1; donc l’équation

pe est irréductible.

Taéorëme. — L'équation

ZP— 7