LES OUES

(2p) Ce perfectionnement, apporté par Cauchy, a sans doute de l’importance, mais il ne fait pourtant disparaître P , P P qu’une partie des inconvénients de la méthode.

140. Nous ne pouvons nous dispenser d'indiquer ici l'usage de l'équation aux carrés des différences pour former les conditions de réalité de toutes les racines de l'équation proposée f(x) 0. Si cette dernière équation a toutes ses racines réelles, 1l est évident que toutes les racines de l’équation aux carrés des différences seront

réelles et positives; donc cette équation sera complète et elle n’offrira que des variations. Si au contraire l’équation f(x) = 0 n'a pas toutes ses racines réelles, soient a + 16 deux racines imaginaires conjuguées, l'équation aux carrés des différences admettra la racine négative — 46? et, si elle est complète, elle offrira nécessairement quelques permanences, d’après le théorème de Descartes. Donc :

Pour qu'une équation ait toutes ses racines réelles, il faut et il suffit que l'équation aux carrés des différences soit complète et ne présente que des variations.

.mim—1)

Ce théorème donne ainsi conditions, mais

quelques-unes de ces conditions devront être satisfaites d’elles-mêmes ou rentreront dans les autres, car on a vu au n° 131 que le nombre total des conditions distinctes ne peut pas surpasser 71 —1.

AAA. Plusieurs géomètres, après Lagrange, ont cherché à éviter l'emploi de l'équation aux carrés des différences; mais nous n'avons à signaler aucun résultat essentiel, jusqu’à la découverte du théorème de Budan. Ce théorème a une grande importance dans la théorie des équations, et 1l permet d’effectuer très-simplement, dans la plupart des cas, la séparation des racines. Mais, avant de développer cette application importante du théorème de Budan, je dois parler de la méthode si remarquable qui nous est donnée par le théorème de Sturm, et qui résout de la manière la plus complète et la plus élégante le problème que nous avons en vue. Effectivement, quand on aura formé les fonctions dont ce théorème indique l'usage, on substituera à l’inconnue une suite de nom-

bres croissants CRAN PEUT CE

et le théorème fera connaître combien il y a de racines dans l'intervalle que forment entre eux deux termes consécutifs de cette suite. S'il y a une seule racine dans l’un des intervalles, cette racine sera séparée; si, au contraire, il y a plusieurs racines, on substituera des nombres intermédiaires, et l’on arrivera infaillhiblement ainsi à achever la séparation. Il est à peine nécessaire d’ajouter qu'on devra prendre pour termes extrêmes de la suite précédente deux nombres au delà desquels 1l n'y ait plus de racines réelles. |

Les nombres à substituer peuvent être pris arbitrairement; mais dans les applications 1l conviendra en général de choisir d’abord les nombres

se 100, 10) —17, ON FU, FI0/ MOOD

dont la substitution se fera sans difficulté. Si les substitutions indiquent l’existence d’une ou de plusieurs racines dans un intervalle, entre 1 et 10 par exemple, on substituera les nombres 2, 3, ... jusqu’à 9, ce qui donnera la partie entière des racines comprises entre 1 et ro. S'il y a plusieurs racines dans l’un de ces nouveaux intervalles, par exemple entre 3 et 4, on substituera les nombres 3, 1; 3, 2, ..., et ainsi de suite.

On voit que ce procédé donne non-seulement la séparation des racines, ce qui est l’objet que nous nous proposons, mais qu'il permet à la rigueur de calculer chaque racine avec un degré d’approximation quelconque.

Il importe de remarquer le cas où l’on sait d’avance que toutes les racines de l’équation proposée sont réelles. Dans ce cas, on peut se dispenser d'employer le théorème de Sturm, ou plutôt on appliquera ce théorème, en prenant pour suite de fonctions, conformément à la proposition du n° 119, celle qui est formée du premier membre de l'équation proposée et de ses dérivées successives.

142. Exeweze I. — Supposons qu'on demande de séparer les racines de l’équation

a+ a — hat — fx += 0.

En supprimant certains facteurs numériques positifs, l'application du théorème de Sturm donnera les fonctions suivantes :

V =xi+rs— 4x — 4x +,

Var pr — 8x — 4, V>— rt + 0x — 4, V—4r +5,