VAT
ces fonctions sont au nombre de cinq, et leurs premiers termes sont positifs : donc l'équation proposée a ses quatre racines réelles. Les règles des n°% 113 et 114 indiquent que les racines sont toutes comprises entre —2 el + 2, ce qui s'accorde avec les résultats des substitutions,
La substitution des nombres
dans la suite des fonctions V, donne les résultats suivants:
| Fe V V, V, V, V, nr cu et au «0 DAT SE +1 Lu Ar =: + a o | + — — + + El FS mes Le me on ve ui à ml 2 ar qe + + +
Il y a deux variations perdues dans le passage de — 2 à
—;,une dans le passage de o à r et une dans le passage de 1 à 2; l'équation proposée a donc deux racines entre — 2 et — 1, une racine entre o et 1 et une autre 1 et 2. Il reste à séparer les deux racines comprises entre —1 et — 2. Or, d’après le tableau précédent, on voit que la
première des fonctions V est positive pour x = — », ainsi que pour x = —1, et l’on trouve qu’elle est négative pour x = — —; donc les deux racines négatives sont
comprises, l’une entre — 1 et — 1,5, l’autre entre — 1,9 CL 27
Exempze Il. — Prenons pour deuxième exemple l’équation
2H ni — rt — D + — x +i1—=0;
on trouve, dans ce cas,
Varia gt + ar tr,
Vi 6x5 + bat — Ai — 3x? + ox — 7,
Va = 192" + 14 2 — 27.2? + 32x — 35,
Vs = — 792: + 20527? — 2058x + 127,
On reconnaît, par la méthode du n° 114, que l'équation proposée ne peut avoir de racines réelles en dehors des limites — 0,6 et +1. Or l'équation V, = 0 a ses deux racines réelles, mais l’une d'elles est comprise entre —1 et — 0,6, l’autre entre +1 et + 2; donc il est inutile, pour notre objet, de calculer V; et V4. La suite des signes des fonctions
est, pour x — — 0,6,
ns
et, pour x = +1, celte suite devient ai}, Fa mB le PAT ee
il y a, dans les deux cas, deux variations; donc l’équaton proposée n’a point de racines réelles.
Méthode de Fourier pour la séparation des racines.
143. La méthode de Sturm ne laisse rien à désirer sous le rapport de la perfection théorique ; malheureusement le calcul des fonctions dont cette méthode exige l'emploi peut devenir très-pénible, même dans des cas fort simples ; ainsi, dans le second des exemples que nous venons de présenter, le nombre constant V, qui terminerait la suite complète des fonctions n’a pas moins de quarantequatre chiffres. Aussi est1l plus avantageux, dans un grand nombre de cas, de se borner à l'emploi du théorème de Budan.\Minsi que nous l’avons dit déjà, Fourier avait trouvé de son côté ce théorème, et il a montré dans son Analyse des équations comment on peut en ürer parti pour effectuer la séparation des racines réelles d’une équation, et obtenir en même temps le nombre exact de ces racines. Nous allons indiquer ici cette méthode de Fourier; mais, afin d'apporter plus de clarté dans notre exposition, nous commencerons par établir une proposition dont nous aurons à faire usage.
LEmme. — Soient f(x) une fonction entière de la variablexet f'(x), f"(x) les deux premières dérivées de f(x). Si l’on fait croitre x entre deux limites x, et X qui ne comprennent aucune racine de l'équation (æ)
Dir, la fonction o(x) = X— “À Re croitra tant
