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que f(x) et f(x) seront de méme signe, et elle dé-

S., Alg. sup. — L 20

306 COURS D'ALGÈDRE SUPÉRIEURE.

croitra tant que f(x) et f(x) seront de signes con-

tr'air'es.

On a effectivement

J'tr)R OI f'{x)+uf"{(x) + “ Fr) +

e et n désignant des quantités qui s’évanouissent avec u; il résulte de là que, si L désigne une quantité positive dont le module soit suffisamment petit, la quantité

pir+u)—o(x)

aura le signe de RUE STE PS le :.signetde ee

pour toutes les valeurs de u comprises entre — } et + h, pourvu que f(x) ne soit pas nulle, En conséquence, si x croît de x, à X et que ces limites ne comprennent aucune racine de l'équation f'(x) = 0, la fonction (x) croîtra ou décroîtra suivant que f(x) et fx x) seront de même signe ou de signes contraires, ce qui est la proposition énoncée.

ConozLaire [ — Si l'équation f(x) —0o a deux racines réelles comprises entre les limites « et 6 «, mais qu'elle n'en ait pas un plus grand nombre; si, en outre, l'équation f(x) = 0 n'a aucune racine entre Les

mémes limites, on aura

SECTION I. — CHAPITRE VI. 307 Mnetet/oientrlet "> x'les racines def (x) —"o comprises entre æ et £; comme f/{(x) ne peut changer de signe, quand x varie entre ces limites, la fonction f' (x) est constamment croissante ou constamment décroissante, et 1l en résulte que l'équation f(x) — 0 ne peut avoir qu'une seule racine entre & et 6 ; d’ailleurs cette racine existe d’après le théorème de Rolle, etelle est comprise entre x’ et x”. D’après la proposition du n° 126, fkz), Fe) F{z) ME) a à x’, tandis qu'ils sont positifs quand x croît de x” à 6; donc, dans l’un et l’autre cas, f(x) et f(x) sont de même signe, et, par conséquent, la fonction

les rapports sont négatifs quand x croît de

est croissante. On a donc

pla)<e(x'), (x) <Lo(6).

D'ailleurs on a

d’où pie) px”); donc, à plus forte raison, pa) (6) ou ele n AE ele

ce qui est le résultat annoncé.

CorozLaire II. — 91 l'équation f'(x) = 0 a une racine x, entre æ et 6 > 4x, et que les équations f(x) = 0, f'(x)= 0 n'aient aucune racine entre ces limites ; si,

en outre, les fonctions f(x), f(x) sont de méme signe,

pour les valeurs de x comprises entre « et 6, l'inégalité

ANDREAS VMS AE

pourra avoir lieu, mais elle cessera nécessairement de

subsister si l’on augmente &« ou que l’on diminue 6 d'une quantité convenable.

D'après notre hypothèse, la fonction (x) croît quand x augmente de & à x, ou de x, à 6. Il s’ensuit que, si l’on fait décroitre x de 6 à x,, la fonction

pla) —g(x) croîtra depuis la valeur initiale o(æ)—v9(6) jusqu’à

+ oo . Pareillement, si l’on fait croître x de « à x;, la

fonction p(æ) — (6)

croîtra aussi depuis (x) —%(6)jusqu'à + « . Si donc æ' et 6’ désignent des valeurs comprises entre & et x, x, et6 respectivement et suffisamment approchés de x1, on aura

pla) —g(6)>o, g(x)—9(6)>0,

c'est-à-dire

YÉ) 7) ee FIET rien FOLIES ROHAN