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Po) EU E =i+> 9:

ce résultat montre que l'intervalle de 1 à 10 esttrop considérable pour qu’on puisse reconnaître la nature des racines par une seule opération. Mais, avant de diminuer cet intervalle, il convient d'examiner si l'équation f''(x)—=0o n'aurait pas deux racines égales comprises entre 1 et 10. On reconnaît effectivement que x— 2 est un diviseur de f(x) et de f"(x); d’ailleurs ce binôme ne divise pas toutes les fonctions AMP han précèdent f(x); donc on pourra retrancher 2 des cinq premiers indices. On obtiendra ainsi la nouvelle série

qui montre que la séparation des racines est terminée. Ainsi l'équation proposée n’a que deux racines réelles, l’une entre —1 et 10, l’autre entre +1 et +10.

Séparation des racines imaginaires.

æ ‘ Pub ; 54 147. Sif(z) désigne une fonction entière de la variable imaginaire z = x + iy, dans laquelle les coeffi-

cients soient des quantités donnéesréelles ou imaginaires, on pourra effectuer la séparation des racines de l’équaüon f(z)—=0, en faisant usage de la proposition que nous avons établie au n° 137.

Effectivement, si l’on trace deux axes de coordonnées rectangulaires ox et oy, puis qu'on mène à l’un des axes, celui des y par exemple, des parallèles qui répondent

aux abscisses To; Ti; Æ, ee

on pourra déterminer, par le théorème du n° 137, le nombre des racines comprises entre deux parallèles consécutives. S'il n’y a qu’une seule racine dans l’un des espaces ainsi déterminés, cette racine sera séparée, conformément à la définition du n° 111; s’il y a plusieurs racines comprises entre deux parallèles consécutives, on pourra achever la séparation par le moyen de parallèles intermédiaires, à moins que plusieurs racines n’aient la mème parlie réelle.

On connaîtra ainsi deux racines aussi rapprochées l’une de l’autre que l’on voudra, entre lesquelles sera comprise la partie réelle x de chaque racine. Si l’on veut avoir en même temps deslimites de la valeur correspondante ou des valeurs correspondantes de y, on y parviendra en menant des parallèles à l’axe des x; celles-ci, avec les deux parallèles à l'axe des y qui comprennent les points racines que l’on considère, détermineront divers rectangles, et le théorèmé du n°136 fera connaître quels sont ceux de ces rectangles qui renferment les racines dont on s'occupe.

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