DU CALCUL DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES
Recherche des racines commensurables des cquations LEE à coefficients rationnels.
148. Le calcul des racines d’une équation numérique offre d’autant plus de difficultés que le degré de l’équation est plus élevé. Aussi, lorsqu'une équation donnée n’est pas irréductible et que l’on sait effectuer la décomposition de son premier membre en plusieurs facteurs, il faut commencer par opérer cette réduction. En paruculier, toute équation qui a des racines multiples devra être remplacée par une ou plusieurs autres qui n’aient que des racines simples ; cette suppression des racines égalesn’estpas seulement utile, elle est souventindispensable, ainsi qu'on a pu s’en convaincre en étudiant les théories que nous avons développées dans le précédent Chapitre. |
Lorsqu'il s’agit d’une équation dans laquelle les coefficients sont des nombres rationnels et que cette équation a des racines commensurables, on peut les obtenir par une méthode très-simple que nous allons exposer. Les racines commensurables étant connues, si leur nombre est égal au degré de équation, celle-ci sera résolue ; dans le cas contraire, on pourra les supprimer par le moyen de la division, et l’on sera ramené à une équation plus simple. Cette détermination des racines commensurables doit, comme on le voit, précéder toute autre recherche.
149. Lorsque les coefficients d’une équation sont rationnels, on peutchasserles dénominateurs qu’ils peuvent contenir ; ces coefficients deviennent alors des nombres entiers. Cela posé, la recherche de toutes les racines commensurables se ramène à celle des racines entières, au moyen de la proposition suivante :
THéorëme. — Lorsque le premier terme d’une équation a pour coefficient l'unité et que les autres coefftcients sont des nombres entiers, l'équation ne peut avoir pour racines commensurables que des nombres entiers.
En effet, soit l’équation f(x) — x’ + ALT +... —+- à + A 0; dans laquelle les coefficients À,, ..…., À,, sont des entiers.
Substituons à x une fraction irréductible quelconque
on aura
om l©) — - "= A; ani A: ban—-2 es ER A» Ne
pe : À ; Cal or, pour que = fût racine de l'équation f(x) = 0, il faudrait que l’on eût
a" ER = — À, (D —...— A, 0m,
ce qui est impossible, puisque le second membre est un nombre entier, tandis que le premier membre est une fracuon irréductible ; donc l’équation proposée ne peut avoir une racine fractionnaire.
D'après cette proposition, pour avoir toutes les racines rationnelles d’une équation à coefficients entiers, il suffira de transformer l’équation proposée en une autre (n° 58) dans laquelle le coefficient du premier terme soit l'unité,
S.— Alg. sup., 1. | 21
les autres coefficients étant entiers, et de déterminer les racines entières de la transformée.
Soit ANT + A; x"! —+- LE] + APE + A» ss O
l'équation proposée ; on poserax — : (n° 58), et la transformée sera 2 m 2 + Ai gm—1 L Aa 2-2 APE ete
le nombre entier « devant être choisi de manière que les [7
expressions A, a A, «? AS TRE
