QUE
INRSLITE Aù
se réduisent à des nombres entiers. Il est évident qu’on satisfera à cette condition en prenant & = À,, mais on remplira souvent l’objet demandé en donnant à « une valeur inférieure à A. Quand les racines entières de la transformée en z auront été obtenues, en les divisant pare, on aura les racines commensurables de la proposée.
150. Il nous reste à indiquer comment on déterminera les racines entières d’une équation (1): fe) = Aa A EEE HAT TERRA TEE
dans laquelle les coefficients A4, A,, ..., À,, sont des nombres entiers sans diviseur commun.
Dire que a estune racine de cette équation, c’est dire que le premier membre f(x) est exactement divisible par x — a; représentons le quotient de la division par
— mn —1 mn —2 p(x)—=—Box — B,x NE — Box — By,
on aura
et, si a est un nombre entier, il estévident que les coefficients du polynôme o(x)serontaussides nombres entiers.
En effectuantle produit indiqué dans le second membre de la précédente égalité, eten écrivant que les coefficients des mêmes puissances de x dans les deux membres sont égaux entre eux, On trouve
Am —4aB»-41, B,;1 — £n ;
a An —4Br:—B, 1; Br ee u es An: = aBy;— By, d'où pr ac = Le nn or 0,2 REA ANA PO UE AS EEE .) A, —aB—B, B, Las,
et réciproquement, si les relations précédentes sont satisfaites, la formule (2) aura lieu identiquement; donc, pour que le nombre entier a soit une racine de l'équation proposée, 1l faut et il suffit que les valeurs précédentes de B»1, Bm 2, .., Bo soient des nombres entiers, et que le dernier de ces nombres soit égal à — A,. Ainsi les conditions auxquelles on reconnaïîtra qu'un nombre entier positif ou négatif est racine d’une équation sont les suivantes :
Il faut et il suffit qu'il divise exactement le dernier terme de l’équation ; qu’il divise la somme obtenue en ajoutant le quotient de cette division avec le coefficient de la première puissance de l’inconnue, qu’il divise la somme obtenue en ajoutant le quotient de cette deuxième division avec le coefficient de la deuxième puissance de l’inconnue; et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on arrive à
ajouter un dernier quotient avec le coefficient du premier terme de l’équation, ce qui devra donner une somme égale à zéro.
On peut disposer de la manière suivante l'opération qu’on exécute pour essayer un nombre & :
Ao A;
+ hr
? unie | A n—1
+ Be
Les coefficients de l’équation ayant été écrits sur une première ligne horizontale, on divise le dernier coefficient An paraetl'onécrit au-dessous de ce coefficientle quotient obtenu — B,,, changé de signe. On divise ensuite par a le coefficient À,,; augmenté du premier quotient B,,, et l’on écrit au-dessous de À,,, le deuxième quotient obtenu —B,,2: changé de signe. On continue de la même manière jusqu’à ce que l’on ait écrit au-dessous du coefficient A,
le quotient changé de signe —B, obtenu en divisant par |
a la somme À, + B,. Si l’une des divisions ne se fait pas exactement, ou si la somme A, + B, n’est pas nulle, le nombre essayé a n’est pas racine. Dans le cas contraire, le calcul qu’on vient d'exécuter fournit les coefficients du
À Ent 4 /
quotient ; et, pour trouver les autres racines en-
tières, 1l suffit d'appliquer la même règle à ce quotient, et ainsi de suite.
Les nombres qu'il faut ainsi essayer sont les diviseurs du dernier terme de l'équation pris avec les signes + et—; toutefois on devra rejeter ceux des nombres ainsi obtenus qui tomberaient en dehors des limites des racines et ceux qu’on peut avoir reconnus comme n'étant pas des racines. Par exemple, si a est une racine entière, l'identité (2), Savoir :
PS
SECTION I. — CHAPITRE Vil. 325:
donnera NET) == Aer d A a EI
d’ailleurs les coefficients de o (x) étant entiers, o(Æ 1) est un nombre entier. Donc : le nombre entier a ne peut étre une racine de l'équation f(x) = 0 sif(+ 1) n'est pas divisible par a +1.
Quant aux résultats f (+ 1) de la substitution de +1 à x, 1ls s'obtiennent par de simples additions ou soustractions entre les coefficients de f(x); on peut donc reconnaître immédiatement si l’équation proposée admet les racines + 1 et —1.
Exempze. — Soit l'équation
Ft — 2 — 34 x + 29 +? + 212x — 300 — 0,
Ff(+1) = — 02, f(—1)= — 450;
en conséquence + iet —1ne sont pas racines. On reconnaîtimmédiatement que toutes les racines réelles sont comprises entre — 6 et + 6; les seuls diviseurs de 300 qu'il y ait lieu d’essayer sont donc + 2, +3, +4, +5;
mais 1l faut rejeter +3, parce que f(— 1) n’est pas divisible par 4, ainsi que — 2, Æ 4 et — 5, parce que ces nombres diminués de 1 ne sont pas des diviseurs de f(+ 1); on devra donc se borner à l’essai des nombres + 2, — 3, + à et l’on disposera le calcul comme il suit :
+ 1 0 = 34 | +29 | 212 | —300 2 + il + 2 | — 30 | — 31 | +150 2 2 NC 5 UP AR ft REED QU CS
ae | D nn ki |
L’essai du diviseur 2 ayant réussi, on doit renouveler cet essai qui réussit encore; la troisième ligne du tableau qui
fl).
comme le dernier de ces coefficients n’est pas divisible
précède renferme les coefficients du quotient et,
par 2, on passe au diviseur — 3, qui est racine; enfin
l'essai du diviseur 5 ne réussit pas, et il en résulte que
l'équation proposée n’aque trois racines commensurables,
savoir deux racines égales à + 2 etune racine égale à —3.
La dernière ligne du tableau donne les coefficients du fx)
et la résolution de la proposée est ramenée à celle de
quotient » lequel est ainsi x? + x — 25,
l'équation du deuxième degré x? + x — 25 = 0.
Théorie des différences.
151. Lorsqu'on veut effectuer la séparation des racines réelles d’une équation, ou que l’on se propose de resserrer les limites entre lesquelles se trouve comprise une racine déjà séparée, on est conduit à calculer les résultats | de la substitution de divers nombres à l’inconnue, dans certaines fonctions entières de cette inconnue. Dès que” le nombre de ces substitutions devient un peu considé- ;
rable, 1l est indispensable de diriger le calcul d’une !
manière régulière et méthodique, ce à quoi l’on parvient
par le moyen de l'algorithme des différences que nous
allons exposer ici.
Soit
(x) Lo, ll, Us, ., Us s+0
vstf “ntfs à.
une suite limitée ou illimitée de quantités assujetties à une loi quelconque. Si l’on retranche chacune de ces quantités de celle qui la suit immédiatement, on for
mera une nouvelle suite que nous représenterons par
(2) AU, Au;, Aus, .…, Ally, ss | A k «
SECTION I, — CHAPITRE VIl. 327
Les quantités (2) sont dites les différences premières ou les différences du premier ordre des quantités (1), et l’on a, pour toutes les valeurs de l’entier y,
Si l’on opère sur la suite (2), comme nous venons de le faire sur la suite (1), on formera une troisième suite que nous représenterons par
(3) AA Us Ie Eee tenus
Ces quantités (3) sont les différences premières des quantités (2); elles sont dites aussi dif/érences deuxièmes ou différences du deuxième ordre des quantités (1), et l’on a, quel que soit u,
CHROEE A°u, — AU, — Au,.
S1 la suite (1) renferme un nombre illimité de termes, on pourra poursuivre indéfiniment la même série d’opérations et l’on formera de cette manière une infinité de suites nouvelles qui comprendront les différences troisièmes où du troisième ordre des quantités (1), celles du quatrième ordre, et ainsi de suite; on aura généralement, quel que soit »,
n+1 — AN DnIATE
Mais, si la suite (1) ne renferme qu'un nombre limité, m +1 de quantités, il est évident qu'il n’y aura que m différences premières, m—1 différences deuxièmes, et généralement m— n + 1 différences du n°" ordre; ainsi, dans l’ordre m, il n’y aura plus qu’une seule différence.
On peut avoir à considérer des suites de quantités illimitées dans les deux sens, telles que
... =, U__, U= 1, Uo, U;, Us, Us, CCE D!
Nos définitions n’exigent, pour ce cas, aucune modifica-
ton, et l’on aura toujours AU = Uygs — Uy, AMF, Au, 4; — Alu, pour toutes les valeurs positives, nulles ou négatives de
l'indice u.
192. ExPpRESsSION GÉNÉRALE DES DIFFÉRENCES D'UN ORDRE | QUELCONQUE. — Nous nous proposons de donner ici l’expression générale de Au, en fonctions des quantités (1).
On a d’abord (4) AU — Uj — Uo, puis AU, — Uo— Uy, et, en retranchant l'égalité (4) de la précédente, il viendra Comme 45, uy, u> peuvent être considérés comme trois » Uy) P
termes consécutifs quelconques de la suite proposée, 1l est évident que l’on aura aussi
AU, —=u; —9u; LU:
et, en retranchant l'égalité (5) de la précédente, on obtiendra (6) Au, — U3 — Bus + Zu — w, On aperçoit aisément, sans qu'il soit nécessaire de
poursuivre ces opérations, que l’on doit avoir, quel que soit 7,
n HIT —A ña & (7) NO pee ee Un pr ui +(—1)"u0)
les coefficients numériques du second membre de cette
expression n'étant autre chose que ceux de la puissance ne d’un binôme pris alternativement avec les signes + et—. La formule (7) étant vérifiée dans le cas de 7 = 1, il suffit, pour en démontrer l'exactitude, d'établir que, si elle a lieu pour une valeur quelconque de », elle subsiste pour la même valeur augmentée d’une unité. Supposons donc que la formule (3) ait lieu pour 7 = u; en l’appliquant aux + 1 premiers termes de la suite proposée, puis aux 1 termes qui suivent le premier wo, on aura
2 =" à D (— 1) + (— a), PRREEPI
si l’on retranche la première de ces égalités de la seconde, et que l’on ait égard à l'identité
Lo DE 1 op leu PNA mm Emma 2
Role 1.2...(4 —1) (8) __(p+i)u(p—1r)...(p—#+2) LE SAN k il viendra Alu ui — ts Un + kr Un +(—i) Hu, pre
ce qui est précisément le résultat fourni par la formule (7), quand on fait dans celle-ci nr —=u+r.
153. ExPRESSION DU TERME GÉNÉRAL D'UNE SUITE EN FONCTION DU PREMIER TERME ET DE SES DIFFÉRENCES. —
On a, d’abord, (9) Uy —= Uo + Au,
puis
D) Au, — Au, + Aus,
et, en ajoutant cette égalité à l'égalité (9), 1l vient (ro) Ug —= Up + 2 Au) + A?u,;
on peut appliquer à la suite (2) des différences premières la proposition exprimée par la formule précédente, ce qui donne
Au, = Aus + 24° u, + Mu;
cette formule étant ajoutée à la formule (10), 1l vient (rr) Us = Uo + 3 Aus + 3 Au, + Au.
Ces résultats nous permettent d'écrire immédiatement la formule générale suivante :
(r2) Un = Ug + . AUÿ—+ UE Au +. + 2 A" y + A, dans laquelle les coefficients numériques sont ceux du développement de la ni°"° puissance d’un binôme. Cette formule est vérifiée dans le cas de 7 —1, et, pour en démontrer la généralité, 1l suffira d'établir que, si elle a lieu pour une valeur quelconque x de 7, elle subsiste pour nn —kx + I.
La formule (12) ayant lieu par hypothèse pour 7 = w, nous pouvons l'appliquer non-seulement à la suite (1), mais aussi à la suite (2) que forment les différences premières; on a donc
Ho} aie Au, PLUS RE Aë—T us + AU, I 1,2 I
AU, — Au, + Au + Mug + AFRO APE U0;
ajoutant ces égalités et ayant égard à la formule (8), 1l
vient
eu. \a Us = Uo + Auo + - mor
Mu... + AMFlus,
SECTION I. — CHAPITRE VII. 331 ce qui est le résultat que donne la formule (12) quand
on y fatn—up+r.
