AU MAR E CR
ce qui montre que la différence Au d’une fonction enüère u du degré mestune fonction entière du degrém—1, et que le premier terme de Au s'obtient en multipliant par X la dérivée du premier terme de u. Cette propositon nous donne immédiatement les résultats suivants :
Mu—m(m—i)A,kax"2+,..,
Mu—m(m—1)(m—2)A, ar iRi,
D'ALEEUR IPN CR 0 STATE
on voit que la différence mi" Au est indépendante de x, et qu’elle s'obtient en multipliant par A? la mime dérivée de u, ce qui démontre le théorème énoncé.
Il résulte de là que les différences de u des ordres su-
périeurs à m sont nulles.
155. SUBSTITUTION DE NOMBRES ÉQUIDISTANTS DANS UNE FONCTION ENTIÈRE. — La proposition que nous venons d'établir conduit à une conséquence très-importante qui remplit l’objet principal que nous avions en vue, et que l’on peut énoncer comme 1l suit :
St l’on doit substituer à x une suite de nombres équidistants
ss Ty — 28, th, tr, ro Lx) Care
dans une fonction entière u = f(x) du degré m, il suf- Jira de calculer directement les résultats de la substitution de m termes consécutifs de la suite, après quoi on obtiendra les résultats de la substitution de tous Les autres nombres par de simples additions.
En effet, considérons le tableau suivant dans lequel on trouve la série des valeurs que prennent la fonction et toutes ses différences jusqu’à celle de l’ordre m, quand on donne à x toute la série des valeurs ... xo — h, x, Lo +h, ....
L u Au Au DA CD M ire 7 Au x, — h u.. ADF ET IPN D'AUTEUR" DCE ARCS A2 m—i1 m C2 7A Au, DER ID eee ane 7 À Au, x, + À u, Au, A AU RE APS AL x, + 24 u Au AL QUE er NAT Au
Pour construire ce tableau, nous calculons directement les m valeurs de w qui répondent à mn valeurs consécuüves de x, et nous les inscrivons en regard de ces valeurs dans la colonne qui est intitulée w. Nous formons ensuite les différences successives de cette suite de m termes, jusqu’à l’ordre m — 1, et nous écrivons les résultats dans les colonnes respectives intitulées Au, Au, …, A"-1u; nous avons ainsi n — 1 termes dans la colonne Au, mm —2 dans la colonne A?u, ...,r terme seulement dans la colonne A” u. Mais la différence Au est constante et sa valeur est connue d'avance; on peut done former la dernière colonne du tableau et la prolonger indéfiniment en haut et en bas. Cela fait, on a tout ce qu'il faut pour prolonger les diverses colonnes du tableau aussi loin que l’on voudra, soit en haut, soit en bas. En effet, chaque terme de l’une des colonnes marquées u, Au, ... est égal à celui qui est au-dessus de lui, augmenté du terme qui correspond à ce dernier dans la colonne suivante, ou égal à celui qui est au-dessous de lui
n U, = Uo + — Aug +
IL) Un — Un " AU, —+- Val a Au, +... +
dans la même colonne, diminué du terme qui lui correspond dans la colonne suivante. Il résulte évidemment de là que, si l’on a inscrit À termes dans l’une quelconque des colonnes, il suffira de connaître un seul terme de la colonne précédente, pour pouvoir inscrire dans celles-ci k nouveaux termes.
456. DÉTERMINATION D'UNE FONCTION ENTIÈRE DU DEGRÉ m AU MOYEN DES VALEURS DE CETTE FONCTION QUI RÉPON- DENT A 77 + I VALEURS ÉQUIDISTANTES DE LA VARIABLE. — Soit u — f(x) une fonction entière du degré m, et désignons par
Uo; U;, Ua, . Um
les valeurs que prend cette fonction quand on donne à x les m + 1 valeurs
Lo; Lo + k, CHE CE Lo —+- mh.
On a, pour toutes les valeurs 1, 2,...,m de n,
PR Xe LUN ER RN
Alu Re Fo L'ONU er
tous les termes du second membre de cette formule, à partir du deuxième, s’obtiennent en donnant à les valeurs 1, 2,5, :.°, 7 dans l'expréssion
ninr—1)...{(r—k+ fée:
DORE TA Le mais, comme cette expression se réduit évidemment à
zéro, pour les valeurs n+1,n7+2,..., m de k, on peut écrire n(r—1) n(r—1)..(r—m+:x) LOUP
NE
Si l’on remplace, dans le second membre de cette formule, 1 ll 44
Æ— To \ AU LT — To T — Lo Au, | LE MT ES RISS ot ÉRRPE SC dE I = ..
+ | % | il % } ( P ) 1.2
TX —%) LT — Lo ACTE —- A — —— .. re m 1 I meme med , h h F0 a
qui se réduit évidemment à u, pour x = x + nh, et,
n par *, on formera la fonction suivante :
en la retranchant de f(x), on obtiendra une fonction entière du degré »2 qui sera nulle pour les m1 valeurs 0, Xo +, ..., Xo + mh de x : 6r cela ne peut avoir lieu que si la fonction dont 1l s’agit est identiquement nulle; on a donc
pe 3 Een Po Épns ne A E FE Lai de k° He | Fi Lo) (x —xo—).…. JE 14) Au Re GT 2 ke
Cette formule subsiste quel que soit 2; si l’on fait tendre
kÆ
À vers zéro et que l’on représente par uf la limite de Te (2 pour À = 0, on aura
(x— Lo)”
L—X T — Ko}?
(4) f Fe FFE J up. | ne CHE NUAGE RE 1 1 ue;
%) est la valeur de la kïÿ®t dérivée de
f(x) pour x = x0, en sorte que l’on a
d’où il résulte que uf
. fx Fix) —= lim ARE pour À — 0.
457. Limires DES RACINES RÉELLES D'UNE ÉQUATION. — Lorsqu'on substitue des nombres équidistants dans le premier membre d’une équation f(x) — 0, en suivant la
marche indiquée au n° 155, les résultats obtenus suffisent pour faire connaître deux limites entre lesquelles sont comprises toutes les racines réelles.
En effet, soient
Los To + hs ..., to +(m—i1)A
m + 1 termes consécutifs quelconques de la série des valeurs substituées, et supposons k positive. Si les quantités wo, Auo, -.., Au, qui répondent à x, sont toutes positives, la formule (13) montre que l'on a f(x) > 0 pour toutes les valeurs de x égales ou supérieures à xo+(m—1)h; cette quantité est donc une limite supérieure des racines. Pareillement, siles quantités us, Aus, Aus, «.., Au, sont alternativement positives et négatives, on aura constamment f(x) >> 0, ou constamment f(x) <o, pour les valeurs de x égales ou inférieures à Xo:; donc, dans ce cas, x, est une limite inférieure des racines.
458. SuBSTITUTION DE NOMBRES INTERMÉDIAIRES. — Quand on a calculé les résultats de la substitution des termes de la progression par différence
To — À, Los Æo + À, ...
dans une fonction entière de x, si l’on veut avoir les résultats de la substitution des termes d’une nouvelle progression, telle que (1 Æo; Xo +, Xp + 24', DSL". ) on peut y parvenir en profitant des calculs déjà exécutés. nh
è Supposons, par exemple, k#— TS CLPOSONSX= To —>
la formule (13) du n°156 donnera
f nh f(ro+ me) —U5 + N(1) AU + NO) Au, + ,,, + N(7) AU:
"+" td ds
| Vhgy bd 47 M'A ARTUE. LI EL dt Alt 67 “ai | "To + 4
en faisant, pour abréger,
NU — * (r—ï0o)(7—20)...[r2—10 le PU NU Pie Le
Nous emploierons la caractéristique d pour représenter les diflérences d’une fonction quelconque de la variable 7, relatives à un accroissement de 7 égal à 1. Alors N(% étant une fonction entière de 7 du degré , sa différence AÏ®%° sera constante; on aura ainsi
nh
dr = m.) —— ÉNCAAËU, + DENCAHI) AEHI y, + co HA N(2) A7" Up.
Si l’on fait n—o et que l’on désigne par dNŸ ce que devient alors 0#N(), la formule précédente donnera
du, — dE NA) A# U) + D'AINE1) Aë-r1 PE ee d'# N° Aime. Au moyen de cette dernière formule on peut calculer dus, d'u, ...,0”*u, et avec ces valeurs on construira le
tableau relatif aux substitutions nouvelles. On obtient ainsi les résultats suivants :
duy —=0,1 Au, —0,0454?u, + 0,0285 A5 u, — 0,0206625 At u, + 0,01611675 Au, —.,.,,
dU6 — 0,01A?ü9 — 0,0094u,
+ 0,007723 tu — 0,0066975A5u + .,,, Su — 0,0014 49 — 0,00135Atu, + 0,001462545u—.,, d'u, — 0,0001 Aus — 0,00018 A5 +... 9 0 —= 0,0000144y —...,
qui suffisent jusqu'au cinquième degré inciusivement.
S. — Alg. sup.s L 22
Application à un exemple.
159. Considérons l'équation du troisième degré x —nr+7—=o(!);
les théories exposées dansle Chapitre précédent indiquent que cette équation a trois racines réelles, l’une négative supérieure à — 4, et les deux autres positives comprises entrer et 2; on arrive facilement aux mêmes résultats dans le cas dont il s’agit, par le moyen des substitutions. Substituons d’abord des nombres entiers; les trois nom-
bres — 1, O0, FI
donnent les résultats +13, +7, +1, d’où l’on tire les différences premières — 6, — 6,
et la différence deuxième
la différence troisième étant constante et égale à 6, nous formerons avec les résultats qui précèdent le tableau suivant !
(?) Cette équation est l’une de celles que Lagrange a choisies pour exemples dans la Résolution des équations numériques ; elle se déduit de l’équation z° + z°— 2z — 1 — 0 que nous avons considérée au n° 101,
: x —2 au moyen de la transformation z =
em À
z u Au Au AS 4
Oo + 7 — 6 + 6 + 6 + I + I le) +12 + 6 + 2 + I +12 +18 + 6 + 3 +13 hs trie
Les valeurs de u, Au, ..., qui répondent à x = 1, sont positives; donc 1 + 2 ou 3 est une limite supérieure des racines; pareillement les valeurs de u, Au, ..., qui répondent à x = — 4, sont alternativement positives et négatives ; donc — 4 est une limite inférieure des racines. L'inspection du tableau montre que la racine négative est comprise entre — 4 et —3, mais elle ne fait rien connaître à l’égard des deux autres racines ; remarquons cependant que si nous n'avions aucun renseignement sur la nature de ces racines, les résultats précédents nous porteraient à penser qu’elles doivent être comprises, si elles sont réelles, entre 1 et 2, et nous serions ainsi conduits à opérer de nouvelles substitutions dans l’intervalle de ces deux limites, comme la méthode de Sturm ou celle de Fourier en démontre la nécessité.
Nous substituerons donc en deuxième lieu des nombres croissants par dixième entre r et 2. Les formules
du n° 458 donnent du, —0,1Au — 0,04) A? 4 + 0,0285 A u,, d'u, = 0,014? 4, — 0,009 Au,
3 — 3 d°U9 — 0,001 Us
340 COURS D’ALGEBRE SUPÉRIEURE.
Si donc on rend Lo —=I, On aura d’a rès le tableau ol P 0 ? , P qui précède,
Uy—=—F1,. Auÿj— 0, "Au —" F1, Au,==+6, d’où Su——0,360, du —+ 0,066, Vu —=+ 0,006.
Nous remettons la caractéristique À au lieu de d, et nous construisons le tableau qui suit, en partant des données
