L'=ASO; LE

Au——0,369, Au—+0,060, AMu—+0,006.

La u Au Mu Vu

1,0 + 1,000 -— 0,369 + 0,066 + 0,006 foi + 0,631 — 0,303 + 0,072 + 0,006 1,2 + 0,328 — 0,231 + 0,078 + 0,006 1,5 + 0,097 — 0,153 + 0,084 + 0,006 134 — 0,056 — 0,069 + 0,090 + 0,006 155 — 0,125 + 0,021 + 0,096 + 0,006 1,6 | — 0,104 + 0,117 + 0,102 + 0,006 1,7 + 0,013 + 0,219 + 0,108 + 0,006 1,8 + 0,232 + 0,327 + 0,114 sont 1,9 + 0,559 + 0,441 A < RARE 2,0 + 1,000 ARC EE NU LORS : qe PME Re

On voit que l'équation proposée a deux racines positives, l’une entre 1,3 et 1,4, l’autre entre 1,6 et 1,7. Si l’on veut resserrer les limites de chaque racine, 1l faudra substituer des nombres croissant par centième. En prenant x5—1,3 on a, d’après le tableau précédent,

Ug — + 0,097; Auç—=— 0,103, du, —<+0,084, Au = +0,0

et l’on en conclut |

dug ——0,018909, d°49 == +0,000786, du = +0,000006 ;

SECTION I. — CHAPITRE VII. 341 prenant, en second lieu, x5,— 1,6, on a — 0,104, Auo —<+O, I 17, Auo—+0,102, . Au — + 0,006,

ce qui donne duy— +0,007281, d'u —+0,000906, du —+0,000006.

Au moyen de ces résultats, on peut construire les deux nouveaux tableaux qui suivent, dans lesquels on a rétabli la caractéristique À au lieu de d.

x u Au Au Mu 1,30 | +0,097000 | —0,018909 | +o,000786 | +<o,000006 1,31 | +0,078091 | —0,018123 | +0,000792 | +0,000006 1,32 | +0,059968 | —0,017331 | +0,000798 | —0,000006 1,33 | +0,042637 | —0,016533 | +0,000804 | +o,000006 #,34 | 0;,026104 | —0,015729 | +0,000810 | ...:..... - RD CIO PARU 0 DM OMR RER Sn re Us. sé 1,36 | —0,004544 LE RE PU Pa: RE SE ET ER S aUn -

x u Au Au Vu 1,60 | —0,104000 | +0,007281 | +0,000966 | +0 ,000006 1,01 | —0,096719 | +0,008247 | +0,000972 | +0,000006 1,62 | —0,088472 | +0,009219 | -+0,000978 | +0,000006 1,63 | —0,079253 | +o,010197 | +—0,000984 | +0,000006 1,64 | —0,069056 :| +o,o11181 | —0,000990 | +0,000006 1,65 | —0,057875 | +o0,012171 | +0,000996 | +0,000006 1,66 | —0,045704 | +<0,013167 | +0o,001002 | +0,000006 1,67 | —0,032537 | +o,014169 | +o,001008 | +0,000006 1,68 | —0,018368 | +o,015177 | +o,oo1014 | .......... D 5 001101 + 0,O10101M 2. 20m lei ue

On voit que la première racine est comprise entre 1,35 et 1,36, la seconde entre 1,69 et 1,70; 1l est évident qu'en poursuivant la même marche on pourrait calculer chacune de ces racines avec une approximation aussi grande que l’on voudrait.

Méthode d’approximation de Newton.

160. Lorsqu'une racine d’une équation est séparée, on peut resserrer indéfiniment, comme on vient de le voir, les limites qui la comprennent, ce qui permet d’obtenir la racine avec l’approximation dont on a besoin. Mais le calcul devient de plus en plus laborieux ; aussi n’emploiet-on habituellement la voie des substitutions que pour déterminer les deux ou trois premiers chiffres, après quoi l'on arece’="s, pour achever le calcul, à desméthodes plus expéditives. Parmi ces méthodes, on doit remarquer surtoutcelle quiest due à Newton et que nous allons exposer.

Soit l'équation du degré m f| x) — O0;

et supposons que l’on connaisse une première valeur approchée a de l’une des racines; si l’on désigne par a+u la valeur exacte de cette racine, on aura

f(a+u)—=o ou u ,, u? , ut # f Helen e (ap RSS CE en (GE d’où l’on tre ue 7e (er AO f'(a) f{a),ix 49 "SONNERIES ER

Si l’on néglige les puissances de w qui figurent dans le second membre de cette formule, on aura, avec une approximation d’autant plus grande que u sera plus petit,

; PAP AAE AIX (2 Fa) et si l’on fait b— a — AE J'(a)

b sera une nouvelle valeur approchée de la racine. On peut appliquer le même procédé en partant de cette valeur b, et l’on en concluraune troisième valeur approchée

GE rte)!

et ainsi de suite.

Telle est la méthode de Newton; elle permet, en général, d'obtenir promptement une très-grande approximation, et il est aisé d’apprécier, dans chaque cas, le degré de rapidité avec lequel cette approximation augmente, en estimant la grandeur des termes négligés dans le passage des équations rigoureuses, telles que (1), aux égalités approchées dont on fait usage.

161. Exempze. — Soit l'équation x —9x+7—=o déjà considérée au n° 159. Nous avons vu que l’une des racines est comprise entre 1,39 et 1,36; appliquons la méthode de Newton au calcul de cette racine, en partant de la valeur approchée a— 1,35; l'équation (1) devient ici

AU) Fate) f'(a) 2f(a) Gf'(a)

et l’on a

Fe) = 9x + 7, fa) — + 0,010375,

Fr) = Sr — 77, f'(a) = —1,5325, L'ey Ps Le À M Me Ee fa) =+ 4,05, l'ym 7 a (s) =, ES "la) =";

comme u est<T o,o1, il est facile de voir que, dans la précédente expression de 4, la somme des termes enu? et en u? est positive et inférieure à 0,0003 ; si donc on pose