FAT NO BA) LS

l'erreur commise sera moindre que cette limite. Nous prendrons pour deuxième valeur approchée

et l’on aura f(b)—0,00014 15864 32, F'(b]—=—1,47728128,

LP) =+ f.o7of, aS"6)=+ x

on voit, à la simple inspection de ces formules, que f(x) devient négative pour x = b +<0,0001, d’où il résulte que la racine dont nous nous occupons est comprise entre 1,3008 et 1,3569. Si l’on désigne cette racine par b+u, on aura

OPA UN.

la somme des deux derniers termes du second membre est

positive et inférieure à 0,00000003 ; donc la formule

DS oi t (686432 '(b) 1,47728128

TR hrs — 0,00009584...

donnera la valeur de w à trois unités près du huitième ordre décimal, en sorte que la racine demandée a pour valeur

avec sept décimales exactes.

Complément de la méthode de Newton.

162. La méthode de Newton ne laisse rien à désirer sous le rapport de la simplicité, mais elle exige que l’on discute dans chaque cas le degré d’exactitude des résultats qu’elle fournit, et ainsi elle ne remplit pas la condition qu’on doitimposer à toute méthode d’approximation, savoir, de donner simultanément une limite inférieure et une limite supérieure de la quantité qu’on veut évaluer. Mais il est facile, comme on va le voir, de combler cette lacune sans altérer l’essence de la méthode.

Soient æ& et6 >> « deux nombres qui comprennent une seule racine x, de l’équation

(5) JMS Où

Comme nous supposons que cetie équation n’a pas de racines égales, on peut admetire que les équations f'(x) = 0, f(x) —0o n’ont aucune racine comprise entre æ et 6; s’il en était autrement, 1l faudrait resserrer les limites qui comprennent la racine x,. Lorsqu'on applique la méthode de Fourier à la détermination de ces limites, on est assuré que notre condition se trouve remplie, quand la suite des indices que l’on forme, confor-

mément à cette méthode, commence par les nombres 1,0, o.

D'après notre hypothèse, f(x) change une fois de signe quand x croît de & à6, mais f(x) et f(x) conservent le même signe. Considérons la fonction

(2) ARE En

dont nous nous sommes déjà occupé au n° 143 et qui est croissante ou décroissante suivant que f(x) et f"(x) sont de même signe ou de signes contraires.

Si f(x) et f”(x) sont de même signe pour x = a, la fonction (x) sera croissante de x = à à x —=Xo et elle sera décroissante de x — xo à x — 6; le maximum de o(x) est donc (x, ) ou xs, et l’on a

Zo pla) et x >>e(6)

f(x) f(6) FRERE S1, au contraire, f(x) et f/(x) sont de signes contraires

pour xæ—a, la fonction o{(x) décroîtra de x =a à x = Xlet elle croîitra de 7 — xs à x 6, enPhrtenne

ou

To x —

®(Xo) ou x, sera alors un minimum; on aura donc

(a) J(6) t 6200 Fa) AOF ES Il résulte de là qu’en appliquant la méthode de Newton à l’une ou à l’autre des deux limites & et 6, on obtient

dans tous les cas des résultats qui sont tous deux en deçà ou au delà de la racine et qui, en conséquence, ne peuvent fournir qu’une limite unique.

Pour avoir une seconde limite, je considérerai la fonction

(3) Yiz)=q{x) —M(x—2},

où M désigne une constante de même signe que le rapport Pr) Fx) moitié de la plus grande des valeurs absolues que prend le même rapport, quand x croît de « à 6; d’après cela on pourra écrire (4) VAE J'(x)

Q étant une fonction de x dont la valeur reste comprise

et dont la valeur absolue soit au moins égale à la